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山西省大同市天镇县第四中学2022年高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在实数集R中定义一种运算“*”,对任意a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意a∈R,a*0=a;
(2)对任意a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0).
关于函数f(x)=(ex)*的性质,有如下说法:
①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为偶函数;③函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0].
其中所有正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】综合题;新定义;函数的性质及应用.
【分析】根据新定义的运算表示出f(x)的解析式,然后逐项研究函数的性质即可作出判断.
【解答】解:由定义的运算知,f(x)=)=(ex)*==1+ex+,
①f(x)=1+ex+=3,当且仅当,即x=0时取等号,
∴f(x)的最大值为3,故①正确;
②∵f(﹣x)=1+=1+=f(x),
∴f(x)为偶函数,故②正确;
③f'(x)==,
当x≤0时,f′(x)=≤0,
∴f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,故③错误.
故正确说法的个数是2,
故选C.
【点评】本题是一个新定义运算型问题,考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力.本题的关键是对f(x)的化简.
2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知函数是定义在R上的偶函数,且在[0, +∞﹚上是减函数,,那么不等式的解集是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
4. 执行如图所示的程序框图,如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是( )
A.k≤6 B.k≤7 C.k≤8 D.k≤9
参考答案:
B
考点:程序框图.
专题:图表型.
分析:根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是S=3,可得判断框内应填入的条件.
解答: 解:根据程序框图,运行结果如下:
S k
第一次循环 log23 3
第二次循环 log23?log34 4
第三次循环 log23?log34?log45 5
第四次循环 log23?log34?log45?log56 6
第五次循环 log23?log34?log45?log56?log67 7
第六次循环 log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3 8
故如果输出S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是k≤7.
故选B.
点评:本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律.本题属于基础题.
5. 设,若关于,的不等式组表示的可行域与圆存在公共点,则的最大值的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 若变量满足约束条件则的最大值等于( )
A. 11 B.10 C. 8 D. 7
参考答案:
B
解析:本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图,作出可行域,可得该可行域是由(0,0),(0,3),(2,3),(4,2),(4,0)组成的五边形。由于该区域有限,可以通过分别代这五个边界点进行检验,易知当x=4,y=2时,z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线,当直线经过(4,2)时,截距达到最大,即取得最大值10.故选答案B.
7. 设全集U=R,集合A={x|},B={x|1<<8},则(CUA)∩B等于( )
A.[-1,3) B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3)
参考答案:
B
8. 集合,,若,则的值为
A.0 B.1 C.2 D.4
参考答案:
D
9. 圆(为参数)被直线截得的劣弧长为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
试题分析:圆的标准方程为,圆心到直线的距离为1,故圆心角为,故劣弧长为
考点:直线与圆的位置关系、弧长公式
10. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合,如果对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是 .
参考答案:
或
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.
参考答案:
4
12. 在△OAB中,点C满足,则y-x=________。
参考答案:
13. 已知函数恒成立,则实数a的取值范围是
参考答案:
略
14. 若,则的值
是 ;
参考答案:
略
15. 如图,已知过原点O的直线与函数的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数图象交于C,D两点,若轴,则四边形ABCD的面积为_____.
参考答案:
分析:设出A、B的坐标,求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系.再根据BC平行x轴,B、C纵坐标相等,推出横坐标的关系,结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标,从而解出B、C、D的坐标,最后利用梯形的面积公式求解即可.
详解:设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知,x1>1,x2>1.
则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2.
因为A、B在过点O的直线上,所以
点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).
由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2,即得log2x1=log2x2,∴x2=x13.
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1.
由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.考虑x1>1解得x1=.
于是点A的坐标为(,log8)即A(,log23)
∴B(3,log23),C(,log23),D(3,log23).
∴梯形ABCD的面积为S=(AC+BD)×BC=( log23+log23)×2=log23.
故答案为:log23
点睛:本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力.
16. 已知抛物线到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM垂直,则实数=
参考答案:
【知识点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.
解:根据抛物线的焦半径公式得1+=5,p=8.
取M(1,4),则AM的斜率为2,由已知得﹣×2=﹣1,故a=.
故答案为:.
【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5,p=8.取M(1,4),由AM的斜率可求出a的值.
【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用,解题时要注意抛物线性质的应用.
17. 已知函数的图象的一部分如下图所示,当时,则函数的最大值是____________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)若函数在(0,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若函数在(0,+∞)上存在两个极值点,,且,证明:.
参考答案:
(Ⅰ)由函数在上是减函数,知恒成立,
.
由恒成立可知恒成立,则,
设,则,
由,知,
函数在上递增,在上递减,
∴,∴.
(Ⅱ)由(1)知.
由函数在上存在两个极值点,,且,知,
则且,
联立得,
即,
设,则,
要证,只需证,只需证,
只需证.
构造函数,则.
故在上递增,,即,,
所以.
19. (18)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD 的地面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=600
。已知PB=PD=2,PA= .
(Ⅰ)证明:PC⊥BD
(Ⅱ)若E为PA的中点,求三菱锥P-BCE的体积。
参考答案:
20. 在平面直角坐标系xOy中,过点的直线l的参数方程为为参数),圆C的方程为,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和圆C的极坐标方程;
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求的值.
参考答案:
(1) ; (2)5 .
【分析】
(1)先求出直线的普通方程,再根据得到相应的极坐标方程.
(2)设直线的参数方程为,利用的几何意义可计算.
【详解】(1)直线普通方程为,
将 代入得,,
整理得直线的极坐标方程为.
圆的极坐标方程为.
(2)直线的参数方程为(为参数)将其代入得,所以.
【点睛】(1)直角坐标转化为极坐标,关键是,而极坐标转化为直角坐标,关键是.
(2)若直线的参数为(参数,为直线的倾斜角),则是之间的距离,我们常利用这个几何意义计算线段的乘积、线段的和或线段的差等.
21. 如图,圆O的直径AB=10,弦DE⊥AB于点H,BH=2.
(Ⅰ)求DE的长;
(Ⅱ)延长ED到P,过P作圆O的切线,切点为C,若PC=2,求PD的长.
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段.
【专题】选作题;推理和证明.
【分析】(Ⅰ)由已知中弦DE⊥AB于点H,AB为圆O的直径,由垂径定理,我们易得DH=HE,进而由相交弦定理,得DH2=AH?BH,由AB=10,HB=2,代入即可求出DH,进而得到DE的长;
(Ⅱ)由于PC切圆O于点C,由切割线定理,我们易得PC2=PD?PE,结合(Ⅰ)的结论和PC=2,代入即可求出PD的长.
【解答】解:(Ⅰ)∵AB为圆O的直径,AB⊥DE,
∴DH=HE,
∴DH2=AH?BH=(10﹣2)×2=16,
∴DH=4,
∴DE=2DH=8;
(Ⅱ)∵PC切圆O于点C,
∴PC2=PD?PE,
即(2)2=PD?(PD+8),
∴PD=2.
【点评】本题考查的知识点是垂径定理,相交弦定理及切割线定理,分析已知线段与未知线段之间的位置关系,进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键.
22. (12分)
在中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,设a=4,c=3,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的面积.
参考答案:
解析:(Ⅰ)解:因为, ------3分
在中,由余弦定理,
得,
所以b=; ------------------6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,,
所以, -----------9分
由三角形的面积公式,
得.
所以的面积为. ---------------12分
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