山西省大同市北村乡中学高二数学文月考试题含解析

山西省大同市北村乡中学高二数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线的倾斜角的大小为                               （   ） A.       B.             C.           D. 参考答案： A 略 2. 设为全集，为（   ） A.       B.       C.        D. 参考答案： A 3. 函数的零点所在的一个区间是(    )ks5u 　 A、(-2,-1)　　   B、(-1,0)　　　 C、(0,1)　　　 D、(1,2) 参考答案： B 略 4. 函数的图象可能是（    ） 参考答案： D 5. 某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是（　　） A．CC B．C﹣C C．CC﹣CC D．CC+CC 参考答案： A 【考点】组合及组合数公式． 【分析】根据题意，利用分类方法来解排列数，用所有的从60人选5个减去不合题意的，可知选项B正确，两个班长中选一个，余下的59人中选4个，减去重复的情况知C正确，当有一个班长参加和当有两个班长参加得到结果是选项D，而A的计算公式有重复的情况，综合可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于B：运用的排除法，先在所有的从60人选5个，有C605种情况，再排除其中不合题意即没有班干部的C585种情况，即有C﹣C种情况，B正确； 对于C：运用的排除法，先两个班长中选1个，余下的59人中选4个，有C21C594种情况，再排除其中有2个班长参加的C22C583种情况， 即有C21C594﹣C22C583种情况，可知C正确，则A错误； 对于D：运用的分类加法原理，当有一个班长参加时，有C21C584种情况，当有2个班长参加时，有C22C583种情况，共有C21C584+C22C583种情况，D正确： 故选A． 6. 已知定义在R上的奇函数，，对任意的， 则不等式的解集为( ▲ ) A.                    B.       C.                  D. 参考答案： D 略 7. 若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 参考答案： B 略 8. 空间四边形ABCD中，对角线AC=BD，E，F，G，H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是                                      （     ） A、正方形      B、矩形          C、梯形         D、菱形 参考答案： D 略 9. 椭圆,P为椭圆上一点,则过点P且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为             (    ) A.      B.        C.       D. 参考答案： A 10. 已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是原点，若是的角平分线上一点，且,则的取值范围是（  ） A．[0,3] B． C． D．[0,4] 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 到圆上的任意点的最大距离是__________． 参考答案： 设圆心为，， ， ∴到圆的最大距离为． 12. 若且，则的最大值是_______. 参考答案： 4 略 13. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为　　． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值． 【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB， ∵tanA=，tanB=， ∴===， ∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA， 即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA， ∵sinC≠0，∴cosA=，即A=， ∴cosA==， ∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3， ∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号）， ∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=， 则△ABC面积的最大值为：． 故答案为：． 14. =    ▲    ． 参考答案： 15. 函数，则=_______ 参考答案： 略 16. 某高中社团进行社会实践，对开通“微博”的人群进行调查，并称开通“微博”的为“时尚族”，现对[25,55]岁的“时尚族”人群随机抽取人， 通过调查得到如 下图所示的各年龄段人数频率分布直方图. (每个组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示年龄在)．则年龄在的人数是_____________. 参考答案： 略 17. 如图所示,二面角α-l-β为60°, A,B是棱l上的点, AC,BD分别在半平面α,β内, AC⊥l,BD⊥l, 且AB=AC=a,BD=2a, 则CD的长为        . 参考答案： 2a  . 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值； (2)求证：当a>ln2－1且x >0时，ex >x2－2ax＋1 参考答案： 略 19. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程． （Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围． （Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB． 【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）． 由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5， 所以， 即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1． 故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25． … （Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5， 代入圆的方程，消去y， 整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0， 由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点， 故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0， 即12a2﹣5a＞0， 由于a＞0，解得a＞， 所以实数a的取值范围是（）． （Ⅲ）设符合条件的实数a存在， 则直线l的斜率为， l的方程为， 即x+ay+2﹣4a=0 由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上， 所以1+0+2﹣4a=0，解得． 由于，故存在实数 使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．… 20. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值． （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间； （2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间； （2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可． 【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b 由解得， f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表： x （﹣∞，﹣） ﹣ （﹣，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）． （2）， 当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值． 要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c． 解得c＜﹣1或c＞2． 21. （本小题满分15分） 如图，椭圆的标准方程为，P为椭圆上的一点，且满足, （1）求三角形PF1F2的面积。 （2）若此椭圆长轴为8，离心率为，求点P的坐标。 参考答案： 解：+=2a     得 +2+=4a 又PF⊥PF   +=4C  ∴=2b   ∴S= b …………………………………………………7′ (2) 由a=4  = 得b=4  ……………….9′ ∴椭圆的标准方程为+=1  ………………………..10′ 由PF⊥PF ∴P为以FF为直径的圆上。……………….13′ +=1  ①      x+y=12  ②  联列方程组 得x=  y= P(,)   P(-,)   P(-,-)    P (,-) ………………………………………………….15′ 22. (1）将101111011（2）转化为十进制的数； (2）将53（8）转化为二进制的数. 参考答案： （1）101111011（2）=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379. (2）53（8）=5×81+3=43. ∴53（8）=101011（2）.