四川省成都市韩场镇中学高三数学文期末试题含解析

四川省成都市韩场镇中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于定义在R上的函数，若，则函数在区间内（    ） A．只有一个零点    B．至少有一个零点    C．无零点      D．无法判断 参考答案： D 2. 若函数在上单调递减，则可以是(    )． A．           B．     　　   C．1    　　 D． 参考答案： A 3. 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为(     ) A．          B．            C．           D．     参考答案： 4. 已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是(　　)． A. 30°        B. 45°          C. 60°         D. 90° 参考答案： A 5. 直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为 A．            B．             C．          D． 参考答案： B 6. 不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）内，则r的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）对应的圆心坐标为（0，）， 由图象知只需要点B（1，0）或A（﹣1，0）在圆内即可， 即r≥==， 在r的最小值为， 故选：A． 7. 若 (a－2i ) i = b－i ，其中a、b∈R，i 是虚数单位，则 a 2 + b 2等于（   ）          (A) 0   (B) 2   (C)   (D) 5   参考答案： 答案：D 8. 已知双曲线，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A． B．(1,2) C． D．(2,+∞) 参考答案： B 由题意得 ，选B.   9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则要想得到的图象，只需将的图象（    ）                A．向左平移个单位长度          B．向右平移个单位长度                                          C．向左平移个单位长度           D．向右平移个单位长度 参考答案： D 由图象知，，解得，从而，，又该图象过（，2），所以，， 因为，所以。因此。 采用倒推法，由， 所以由。故选择D。 10. 当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(     )． A．(－∞，2]            B．[2，＋∞)            C．[3，＋∞)            D．(－∞，3] 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则的值为          。 参考答案： 略 12. 定义在上的函数满足：对任意，恒成立．有下列结论：①；②函数为上的奇函数；③函数是定义域内的增函数；④若，且，则数列为等比数列． 其中你认为正确的所有结论的序号是                     ． 参考答案： ①②④ 13. 已知点O为坐标原点，点M（2，1），点N（x，y）满足不等式组，则?的最大值为        ． 参考答案： 11 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式． 【分析】可画出原不等式组所表示的平面区域，而可求出，可设2x+y=z，从而得到y=﹣2x+z，这样找出平面区域上的一点，使得直线y=﹣2x+z过该点时截距取到最大值，此时z便取到最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示； ； 解得，，即A（4，3）； 设2x+y=z，∴y=﹣2x+z； ∴z为直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，由图看出当该直线过点A时，截距最大，即z最大； ∴3=﹣8+z； z=11； ∴z的最大值为11，即的最大值为11． 故答案为：11． 【点评】考查根据不等式可以找到该不等式所表示的平面区域，向量数量积的坐标运算，线性规划的方法求最值，直线的斜截式方程． 14. 已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则的坐标是__________ 参考答案： 15. 若函数是偶函数，则          ． 参考答案： 16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为            升. 参考答案： 17. 在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则       ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆，点M是C长轴上的一个动点，过点M的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于点N，弦PQ的中点为R．当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，． （1）求椭圆C的方程； （2）当M，N均与原点O不重合时，过点N且垂直于OR的直线与x轴交于点H．求证：为定值． 参考答案： (1) (2)见证明 【分析】 （1）根据题意得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线，，，联立直线和椭圆的方程得到，点的坐标为，再求为定值. 【详解】（1）因为当为的右焦点，且的倾斜角为时，重合，. 所以，因此，，所以椭圆的方程为. （2）设直线，，， 将代入得：， 所以，， 所以， 所以直线的方程为，所以点的坐标为， 又因为点，所以为定值. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.   19. （14分） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角.    （I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；    （II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值；    （III）求二面角B—B1C—A的大小. 参考答案： 解析：解法一：    （I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC， ∴B1B⊥AC， 又BA⊥AC，B1B∩BA=B， ∴AC⊥平面 ABB1A1， 又AC平面B1AC， ∴平面B1AC⊥平面ABB1A1.                                                               …………4分    （II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连结CM， ∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A， ∴A1M⊥平面B1AC. ∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角， ∵直线B1C与平面ABC成30°角， ∴∠B1CB=30°. 设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=， ∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为                                …………9分    （III）解：过A做AN⊥BC，垂足为N，过N做NO⊥B1C，垂足为O，连结AO， 由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC1B1，由三垂线定理，可知AO⊥B1C， ∴∠AON为二面角B—B1C—A的平面角， ∴二面角B—B1C—A的大小为                                         …………14分 解法二：    （I）证明：同解法一. …………4分    （II）解：建立如图的空间直角坐标系A—xyz， ∵直线B1C与平面ABC成30°角， ∴∠B1CB=30°. 设AB=B1B=1， ∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为                                …………9分    （III）解：设为平面BCC1B1的一个法向量， ∴二面角B—B1C—A的大小为                                         …………14分 20. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. （1）求b的值； （2）求的值. 参考答案： （1）2；（2）. 【分析】 （1）在△ABC中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1）在△ABC中，根据余弦定理，， 于是，   解得或（舍去），故.  （2）在△ABC中，，于是.  根据正弦定理，得，.  又为钝角，为锐角，即.  从而，， . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 21. 已知函数,．[来源:Z|xx|k.Com] （1）若对任意的实数,函数与的图象在处的切线斜率总相等，求的值 （2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（Ⅰ）     由题设知，且，即，  ……2分   因为上式对任意实数恒成立，        ……4分 故，所求     ……5分 （Ⅱ）即， 方法一：在时恒成立，则在处必成立，即， 故是不等式恒成立的必要条件.    ……7分 另一方面，当时，记则在上，       ……9分 时，单调递减；时，单调递增 ，，即恒成立 故是不等式恒成立的充分条件.   ……11分 综上，实数的取值范围是       ……12分 方法二：记则在上，      ……7分 1         若，，时，，单调递增，， 这与上矛盾；       ……8分 2         若，，上递增，而， 这与上矛盾；……9分 ③若，，时，单调递减；时，单调递增 ，即恒成立      ……11分 综上，实数的取值范围是       ……12分 略 22. [选修4—5：参数方程选讲]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线c1的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是 (2)求曲线c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程； (2)若两曲线交点为A、B，求. 参考答案： （1）曲线的普通方程是: 曲线的直角坐标方程是：...........5分 （2）因为是过点（）的直线 所以的参数方程为：   （为参数） 代入的普通方程，得 解得，故.............10分