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福建省泉州市石狮第一中学高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (3分)设集合M={x|x2﹣x﹣12=0},N={x|x2+3x=0},则M∪N等于()
A. {﹣3} B. {0,﹣3,4} C. {﹣3,4} D. {0,4}
参考答案:
B
考点: 并集及其运算.
分析: 求出集合M,N,直接利用集合的补集求解即可.
解答: M={x|x2﹣x﹣12=0}={4,﹣3},N={x|x2+3x=0}={0,﹣3}
则M∪N={0,﹣3,4}
故选:B.
点评: 本题是基础题,考查方程的解法,集合的基本运算,高考常考题型.
2. 设,则a、b、c的大小关系是( )
A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b
参考答案:
D
略
3. 自然数按照下表的规律排列,则上起第2013行,左起第2014列的数为 ( )
参考答案:
B
4. 若是定义在R上以2为周期的奇函数,则( )
A.-2018 B.2018 C.1 D.0
参考答案:
D
是定义在上以2为周期的奇函数
,,
故选D.
5. ,满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为().
A.或-1 B.或 C.2或1 D.2或-1
参考答案:
D
观察选项有,-1,1,2.
当时,与重合时,纵截距最大,符合,
时,与重合时,纵截距最大,符合,
时,经过时,纵截距最大,不符合,,1舍去,
故或,
选.
6. (多选题)下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
AB
【分析】
利用诱导公式,及,依次分析即得解
【详解】利用诱导公式,及
A选项:,故A正确;
B选项:,故B正确;
C选项:,故C不正确;
D选项:,故D不正确
故选:AB
【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算能力,属于基础题.
7. (5分)已知函数f(x)=|x|,则下列哪个函数与y=f(x)表示同一个函数()
A. g(x)=()2 B. h(x)=
C. s(x)=x D. y=
参考答案:
B
考点: 判断两个函数是否为同一函数.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由f(x)的对应关系和定义域,求出A、B、C、D中函数的定义域和对应关系,判定是否与f(x)为同一函数即可.
解答: ∵f(x)=|x|,x∈R;
∴A中,g(x)=x,x≥0,定义域不同,不是同一函数;
B中,h(x)=|x|,x∈R,定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;
C中,s(x)=x,x∈R,对应关系不同,不是同一函数;
D中,y==|x|,x≠0,定义域不同,不是同一函数.
故选:B.
点评: 不同考查了判定函数是否为同一函数的问题,解题时只需考虑两个函数的定义域、对应关系是否相同即可,是基础题.
8. 函数f (x)=,若f (x)=3,则x的值是
A 4 B 1或 C 1, ±, D
参考答案:
D
9. 函数的单调增区间是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
∵
∴,
,
当时,根据二次函数性质得:
单调递增,
当时,单调递减,
∴在上单调递增,
综上所述,答案选择:.
10. 已知集合,集合,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
由题意得,结合各选项知B正确.选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (3分)△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且,则的值为 .
参考答案:
﹣
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: 将已知等式移项,两边平方,得到=0,再将向量OC用向量OA,OB表示,代入所求式子,化简即可得到.
解答: ,即有3=﹣5,两边平方可得,
9+16+24=25即25=25,
即有=0,
由于=﹣,则=﹣
=﹣(4﹣3﹣)=﹣(4﹣3﹣0)=﹣.
故答案为:﹣.
点评: 本题考查向量的加减和数量积运算,考查向量的数量积的性质和平方法解题,属于中档题.
12. (4分)若圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为 .
参考答案:
2
考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 设出圆锥的底面半径,由它的侧面展开图是一个半圆,分析出母线与半径的关系,结合圆锥的表面积为3π,构造方程,可求出直径.
解答: 设圆锥的底面的半径为r,圆锥的母线为l,
则由πl=2πr得l=2r,
而S=πr2+πr?2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1,所以直径为:2.
故答案为:2.
点评: 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
13. 已知集合,且,则的值分别为 。
参考答案:
x=-1,y=0
14. .若中,角A、B所对的边分别为;,,
则
参考答案:
15. 函数的单调减区间是.
参考答案:
16. 函数y=(θ∈R)的值域为 .
参考答案:
[﹣,]
【考点】三角函数的化简求值;函数的值域.
【分析】将式子变形为ysinx﹣cosx=﹣2y,利用辅助角公式得出sin(x﹣φ)=.根据正弦函数的值域列出不等式解出y的范围.
【解答】解:∵y=,∴ysinx﹣cosx=﹣2y,
∴sin(x﹣φ)=﹣2y,
∴sin(x﹣φ)=.
∴﹣1≤≤1.
即≤1,
解得﹣≤y≤.
故答案为[﹣,].
17. 已知函数f(x)=,若f[f(x)]=1,则实数x的取值范围是 .
参考答案:
[0,1]∪[2,3]
【考点】分段函数的应用;函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数直接判断x的范围,求解即可.
【解答】解:函数f(x)=,f[f(x)]=1,
当x∈[0,1]时,f[f(x)]=1恒成立.
当x<0时,f(x)=3﹣x>3,可得3﹣(3﹣x)=1,不成立;
当x>1时,f(x)=3﹣x,
若1<3﹣x≤2.即x∈[1,2),可得3﹣(3﹣x)=1,不成立;
若0≤3﹣x≤1即x∈[2,3]时,f[f(x)]=1,恒成立.
若3﹣x<0,即x>3时,可得3﹣(3﹣x)=1,不成立;
综上x∈[0,1]∪[2,3].
故答案为:[0,1]∪[2,3].
【点评】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论以及计算能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,点D是AB的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面;
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
参考答案:
试题分析:(1)由勾股定理计算得AC⊥BC,再由直棱柱性质得C1C⊥AC,最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1,即得AC⊥BC1.(2)设CB1与C1B的交点为E,由三角形中位线性质得DE∥AC1,再根据线面平行判定定理得结论(3)因为DE∥AC1,所以∠CED为AC1与B1C所成的角.再根据解三角形得所成角的余弦值.
试题解析:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1?平面BCC1B,∴AC⊥BC1.
(2)证明:设CB1与C1B的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形.
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1.
∵DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1,
∴∠CED为AC1与B1C所成的角.在△CED中,ED=AC1=,
CD=AB=,CE=CB1=2,∴cos∠CED==.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
19. 若指数函数( )在区间 [1,2] 内的最大值
比最小值大,求的值.
参考答案:
20. 证明函数=在区间上是减函数.
参考答案:
证明:任取,
则
所以函数在区间上是减函数。
略
21. (本题 分,第(1)小题4分,第(2)小题6分)
设函数是定义域为且上的奇函数,当时,。
(1)写出时,函数的解析式;
(2)解不等式:
参考答案:
(1)时,(4分)
(2)当时,,解得(2分)
当时,,解得(2分)
综上得(2分)
22. (10分)设集合至多有个一元素,求实数的取值范围.
参考答案:
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