福建省泉州市九都中学高二数学文下学期期末试题含解析

福建省泉州市九都中学高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 能够使圆上恰有三个点到直线2x+y+c=0的距离为1，则c的值为（   ） A.          B.         C.          D.2 参考答案： C 2. 若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（  ） A．         B．          C．        D． 参考答案： B 因为，所以，因为函数在区间内是增函数，所以在区间内恒成立且不恒为零，即在区间内恒成立且不恒为零，又时，，所以实数的取值范围是。 3. 直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A．     B．        C．    D． 参考答案： C 略 4. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　） A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF与△BEF的面积相等 参考答案： D 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】根据题意，依次分析：如图可知BE?平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出A正确； 根据EF∥BD，BD?面ABCD，EF?面ABCD判断出B项正确； 设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断C项正确； 根据点A到直线EF的距离为，点B到直线EF的距离1，可知D错误 【解答】解：∵BE?平面BB1D1D，AC⊥BE，∴A对 ∵EF∥BD，BD?面ABCD，EF?面ABCD，∴B对， ∵S△BEF=××1=，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO= ∴VA﹣BEF=××=，∴C对 ∵点A到直线EF的距离为，点B到直线EF的距离1，因此△AEF与△BEF的面积不相等，故D错误 故选D． 　 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有恒成立，且，则使成立的实数x的集合为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 构建新函数，可证它是偶函数且为上的增函数，故可得实数满足的不等式组，从而得到原不等式的解集. 【详解】令，则， 故当时，有，所以在上的增函数， 又，故为上的偶函数. 且在上的减函数， 又等价于， 所以或，综上，实数的集合，故选B. 【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则. 6. 通过来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为     A.回归分析       B.独立性检验分析      C. 散点图分析      D. 残差分析 参考答案： D 略 7. 方程表示的图形为： A.两条直线                   B.一条直线和一条射线       C.一个点                D.两条射线 参考答案： B 8. 设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有(　　) A．p真q真   B．p假q假     C．p真q假     D．p假q真 参考答案： B 略 9. 若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23?a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 参考答案： A 【考点】等差数列的性质． 【分析】首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案． 【解答】解：∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23?a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46， 故选A 10. 已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 与向量=（4，-3）同向的单位向量是___________; 参考答案： (,-) 略 12. 某校高二年级共1000名学生，为了调查该年级学生视力情况，若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，999，若抽样时确定每组都是抽出第2个数，则第6组抽出的学生的编号　   　． 参考答案： 101 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定抽取间隔即可得到结论． 【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，第一组随机抽取的编号为001，以后每隔20个号抽到一个人， 则抽取的号码构成以001为首项，d=20为公差的等差数列， ∴an=1+20（n﹣1）=20n﹣19． ∴a6=101． 故答案为：101． 13. 已知直三棱柱中，，，，为的中点，则与平面的距离为______       参考答案： 1 14. 如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为       ．      参考答案： 设r是⊙O的半径．由，解得r=3.由解得。 15. 观察下列等式：    12=1，     12—22=—3，     12—22+32=6，     12—22+32—42=-10，     ………………… 由以上等式推测到一个一般的结论：对于，12—22+32—42+…+（—1）n+1n2=     。 参考答案： 16. 若恒成立，则a的范围是____________ 参考答案： a≤-1 略 17. 函数的单调递增区间是＿＿＿   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向． （Ⅰ）求C2的方程； （Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1）， ∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1， 又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称， ∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，）， ∴， 又∵a2﹣b2=1， ∴a2=9，b2=8， ∴C2的方程为+=1； （Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， ∵与同向，且|AC|=|BD|， ∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，   设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1， 由，可得x2﹣4kx﹣4=0， 由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4， 由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0， 由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣， 又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4， ∴16（k2+1）=+， 化简得16（k2+1）=， ∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±， 即直线l的斜率为±． 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 19. 已知等差数列{an}满足：a2=3，a5﹣2a3+1=0． （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足：{bn}=（﹣1）nan+n（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出． （2）由已知得bn=（﹣1）n（2n﹣1）+n，对n分类讨论即可得出． 【解答】解：（1）令等差数列{an}的公差为d，由a2=3，a5﹣2a3+1=0，得， 解得a1=1，d=2， 故数列{an}的通项公式为an=2n﹣1（n∈N*）． （2）由已知得bn=（﹣1）n（2n﹣1）+n， 若n为偶数，结合an﹣an﹣1=2，得 Sn=（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+…+（﹣an﹣1+an）+（1+2+…+n）=2?+=； 若n为奇数，则Sn=Sn﹣1+bn=﹣（2n﹣1）+n=． 20. 已知数列，满足，，且对任意，有， （1）求数列，的通项公式 （2）求数列的前n项和 （3）若数列满足，是否存在正整数M，使得对任意，恒成立，说明理由 参考答案： （I）取m＝1得 所以 （II） 所以 略 21. 已知函数. （1）讨论函极值点的个数，并说明理由； （2）若，恒成立，求a的最大整数值. 参考答案： （1）当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点. （2）3. 试题分析： (1)首先对函数求导，然后分类讨论可得当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点. (2)结合题中所给的条件构造新函数（），结合函数的性质可得实数的最大整数值为3. 试题解析： （1）的定义域为，且. 当时，在上恒成立，函数在上单调递减. ∴在上没有极值点； 当时，令得； 列表 所以当时，取得极小值. 综上，当时，在上没有极值点； 当时，在上有一个极值点. （2）对，恒成立等价于对恒成立， 设函数（），则（）， 令函数，则（）， 当时，，所以在上是增函数， 又，， 所以存在，使得，即， 且当时，，即，故在在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增； 所以当时，有最小值， 由得，即， 所以， 所以，又，所以实数的最大整数值为3. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22. （ 12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. （1）证明：⊥平面；（2）求二面角的正切值的大小。 参考答案： （1）据题意易得角⊥平面    …………………………6分 （2），为所求二面角的平面角。 在中，易得…………………………6分