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湖南省长沙市沙县白中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 式子cos的值为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
B
【考点】GP:两角和与差的余弦函数;GI:三角函数的化简求值.
【分析】观察三角函数式,恰好是两角和的余弦的形式,由此逆用两角和的余弦公式可得
【解答】解:原式=cos()=cos=;
故选B.
2. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面
A. 一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.一定重合
参考答案:
C
3. 若把化成的形式,则的值等于…………( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
4. 己知函数为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG是边长为2的等边三角形,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 若集合,,则 ( )
A.{} B. {} C. {} D. {}
参考答案:
B
6. 在区间[-3,3]上随机取一个整数x,则使得成立的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
把对数不等式解出来,再利用古典概型。
【详解】由题意可得
所以
【点睛】本题考查对数不等式的解法,古典概型问题,属于基础题。
7. 函数 的图象大致是 ( )
参考答案:
A
略
8. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积等于( )
A. B.2 C.2 D.6
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由图可知,棱柱的底面边为2,高为1,代入柱体体积公式易得答案.
【解答】解:由正视图知:
三棱柱是以底面边长为2,
高为1的正三棱柱,
∴底面是边长为2的等边三角形,故底面积S==,
侧面积为3×2×1=6,
故选D.
9. 的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 下列说法错误的个数为( )
①图像关于原点对称的函数是奇函数 ②图像关于y轴对称的函数是偶函数
③奇函数图像一定过原点 ④偶函数图像一定与y轴相交
A.4 B。3 C。2 D.0
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数,则的解析式为_______________
参考答案:
略
12. 若,是真命题,则实数的取值范围是 .
参考答案:
13. 已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中真命题序号是______
参考答案:
(2) 、(3)
14. 已知集合,集合.若令,那么从到的映射有 个.
参考答案:
25
15. 已知,,若,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
16. 已知,,则__________(用含a,b的代数式表示).
参考答案:
由换底公式,.
17. 若向量,,,则 (用表示)
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动,已知此品牌的一个水杯定价20元,一个钥匙扣定价5元,且该服务部推出两种优惠活动方式
(1)买一个水杯赠送一个钥匙扣
(2)按购买两种商品的总费用90%付款
若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个,钥匙扣x个(不低于4个),试按两种不同优惠方式写出实付款y元关于x的函数关系式,并讨论选择那种购买优惠方式更划算?
参考答案:
由优惠活动方式(1)可得:
,且(定义域不写或写错-1分)
由优惠活动方式(2)可得:
,且(定义域不写或写错-1分)
,故:当时用第一种方案,时两方案一样
时,采用第二种方案
19. (12分)已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
(1)当a=1时,解不等式f(x)>1;
(2)若关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素,求a的值;
(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;一元二次不等式;指、对数不等式的解法.
【分析】(1)当a=1时,不等式f(x)>1化为:>1,因此2,解出并且验证即可得出.
(2)方程f(x)+log2(x2)=0即log2(+a)+log2(x2)=0,(+a)x2=1,化为:ax2+x﹣1=0,对a分类讨论解出即可得出.
(3)a>0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间上单调递减,由题意可得﹣≤1,因此≤2,化为:a≥=g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.
【解答】解:(1)当a=1时,不等式f(x)>1化为:>1,
∴2,化为:,解得0<x<1,
经过验证满足条件,因此不等式的解集为:(0,1).
(2)方程f(x)+log2(x2)=0即log2(+a)+log2(x2)=0,∴(+a)x2=1,化为:ax2+x﹣1=0,
若a=0,化为x﹣1=0,解得x=1,经过验证满足:关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素1.
若a≠0,令△=1+4a=0,解得a=,解得x=2.经过验证满足:关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素1.
综上可得:a=0或﹣.
(3)a>0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间上单调递减,
∴﹣≤1,
∴≤2,
化为:a≥=g(t),t∈[,1],
g′(t)===≤<0,
∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t=时,g(t)取得最大值, =.
∴.
∴a的取值范围是.
【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.
20. 已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性
参考答案:
且,且,即定义域为;
为奇函数;
略
21. 已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R}.
若A∩B=[1,3],求实数m的值;
参考答案:
略
22. 函数的定义域为(0,1(为实数).
⑴当时,求函数的值域;
⑵若函数在定义域上是减函数,求的取值范围;
⑶求函数在x∈(0,1上的最大值及最小值,并求出函数取最值时的值
参考答案:
(1)值域为
(2)在上恒成立,所以在上恒成立,
所以。
(3)当时,在上为增函数,所以,取最大值,无最小值。
当时,函数在上为减函数,所以,取最小值,无最大值。
当时,
所以为减函数,为增函数,所以,取最小值,无最大值。
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