湖南省郴州市嘉禾县城关中学高三数学文月考试题含解析

湖南省郴州市嘉禾县城关中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同的两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则△OAB面积的最小值为(     ) A．p2 B．2p2 C．4p2 D．6p2 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先设直线的方程为斜截式（有斜率时），代入抛物线，利用OA⊥OB找到k，b的关系，然后利用弦长公式将面积最后表示成k的函数，然后求其最值即可．最后求出没斜率时的直线进行比较得最终结果． 【解答】解：当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+b． 由消去y得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意得△=（2kb﹣2p）2﹣4k2b2＞0，即kb＜． ， 所以=． 所以由OA⊥OB得 所以b=﹣2pk，①代入直线方程得y=kx﹣2pk=k（x﹣2p）， 所以直线l过定点（2p，0）． 再设直线l方程为x=my+2p，代入y2=2px得y2﹣2pmy﹣4p2=0， 所以y1+y2=2pm，y1y2=﹣4p2，所以 ==， 所以S=， 所以当m=0时，S的最小值为4p2． 故选C 【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题，一般先结合韦达定理将要求最值的量表示出来，然后利用函数思想或基本不等式求最值即可． 2. 已知抛物线，定点，，点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据图像分析得到当直线与抛物线相切时，最大，联立直线和抛物线，使得得到参数,进而得到结果. 【详解】作出抛物线，如图所示. 由图可知，当直线与抛物线相切时，最大. 设直线的方程为，联立 得.令，得， 此时，所以. 【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况. 3. 已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（　　） A．﹣2 B．5 C．6 D．7 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值． 【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域， 由得A（3，5）， 当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值， 即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2． 故选A． 【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义． 4. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则等于（    ） A． B． C． D．   参考答案：   考点：1.余弦定理；2.基本不等式. 5. 下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为(         ) A．         B．      C．        D． 参考答案： B 6. 若，则cos2α+2sin2α=（　　） A． B．1 C． D．（0，0，1） 参考答案： A 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：由，得 =﹣3， 解得tanα=， 所以cos2α+2sin2α====． 故选A． 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 7. 若，则“”是 “”的（  ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8. 复数的实部是（　　） 　 A． ﹣i B． ﹣1 C． 1 D． i 参考答案： C 考点： 复数的基本概念．. 专题： 计算题． 分析： 利用复数的运算法则和实部意义即可得出． 解答： 解：∵=﹣i+1， ∴实部为1． 故选C． 点评： 熟练掌握复数的运算法则和实部的意义是解题的关键． 9. 下列命题错误的是（    ） A. 的充分不必要条件; B. 命题“”的逆否命题为“”; C.对命题：“对方程有实根”的否定是:“ ,方程 无实根”; D. 若命题是; 参考答案： B 10. 命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是(     ) A．p或q B．p且q C．q D．￢p 参考答案： B 考点：复合命题的真假． 专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑． 分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项． 解答： 解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y； ∴命题p是假命题； x2+y2≥2xy，这是基本不等式； ∴命题q是真命题； ∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题； ∴是假命题的是B． 故选B． 点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆的圆心到直线的距离     ; 参考答案： 3 12. 已知集合，，则A∩B=____. 参考答案： 【分析】 利用交集定义直接求解． 【详解】集合，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 13. 已知的值等于            . 参考答案： 0 14. 若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为        。 参考答案： 略 15. 已知向量=（3，4），=（2，3），则+在﹣方向上的投影为　    　． 参考答案： 6 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量的坐标运算和向量投影的定义即可求出 【解答】解：∵向量=（3，4），=（2，3）， ∴+=（5，7），﹣=（1，1）， ∴（+）（﹣）=57=12，|﹣|=， ∴+在﹣方向上的投影为==6， 故答案为：6． 16. 程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为　　． 参考答案： 1025 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 s=1，n=10，i=0， 执行循环体，s=2，i=1 满足条件i＜11，执行循环体，s=1++…+=1+1024=1025， 故答案为：1025． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题． 17. 已知幂函数在处有定义，则实数m＝         ； 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对边长，并且 . （1）若△ABC是锐角三角形，求角A的值； （2）若a =4，求三角形ABC周长的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）， ， 即，. 又是锐角三角形，，从而.   …5分 （Ⅱ）由及余弦定理知，，即，…10分 .又 三角形周长的取值范围是……..12分. 19. 已知椭圆C：（）的左右顶点分别为，，点在椭圆C上，且的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l不经过点P且与椭圆C交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为，证明：直线l过顶点. 参考答案： 解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为， 由题意得： 所以 所以椭圆的方程为： （2）①当直线的斜率不存在时，可设其方程为且）， 不妨设，且 故把代换化简得：，不合题意 ②设直线的方程为，， 联立 ， 由，是上方程的两个根可知： 由， 化简整理得： 即 故或（舍去，因为此时直线经过点） 把代入得 所以直线方程为（），恒过点   20. 如图，是圆的直径，弦于点，是延长线上一点，，，，切圆于，交于． （1）求证：△为等腰三角形； （2）求线段的长． 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 试题分析：（1）由，，，四点共圆，得到，再得到，得出△为等腰三角形；（2）由勾股定理算出,由，求出，由切割线定理求出,再求出. 试题解析：（1）证明：连接，，则，，，共圆， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴△为等腰三角形． （2）解：由，，可得， ∴，，∴， 连接，则， ∴． 考点：1.勾股定理；2.切割线定理. 21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），以射线Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）将曲线C的参数方程化成普通方程，将直线l的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长． 参考答案： （1）曲线的参数方程化成直角坐标方程为，·····2分 因为，，所以的直角坐标方程为．·····4分 （2）直线的倾斜角为，过点， 所以直线化成参数方程为，即，（为参数），5分 代入得，，， 设方程的两根是，，则，，·····8分 所以．·····10分 22. 已知函数． （1）证明函数在区间上单调递减； （2）若不等式对任意的都成立，（其中是自然对数的底数），求实数的最大值． 参考答案： 解：（I） ……………1分 设g（x）=ln（1+x）﹣x，x∈[0，1） 函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0， ∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立， ∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．……………4分 （II）不等式等价于不等式 由知，，……………5分 设，……………6分 ……………7分 设h（x）=（1+x）ln2（1+x）﹣x2（x∈[0，1]）……………8分 h'（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）﹣2x， 由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0 ∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减， h（x）＜h（0）=0 ∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减． ∴ 故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=……………11分 即，   ∴a的最大值为……………12分     略