湖南省岳阳市湘北中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

湖南省岳阳市湘北中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 令，代入双曲线方程可得，由三角形的面积公式，可得的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设，其坐标为 令，代入双曲线方程可得 的面积为    可得 本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题． 2. 设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： D 【考点】两点间的距离公式；双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案． 【解答】解：∵MO是△PF1F2的中位线， ∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|， 根据双曲线的方程得： a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5， ∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3， ∴Rt△OTF1中，|FT1|==4， ∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1 故选：D 3. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于(     ) A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案． 【解答】解：由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图： 棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）． 故选B． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量． 4. 一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是(   ) A．   B．  C．  D． 参考答案： D 略 5. 已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（?RA）∩B=（　　） A．（﹣2，0） B．[﹣2，0） C．? D．（﹣2，1） 参考答案： B 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可． 【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}， ∴?RA={x|﹣2≤x≤1}， 集合BB={x|x＞2或x＜0}， ∴（?RA）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）， 故选：B． 6. 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围； (2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．   参考答案： 略 7. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接AF2交y轴于M点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B．             C．           D．  参考答案： D 8. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是   参考答案： D    9. 已知，且，则的概率（    ） A.              B．             C．               D. 参考答案： B 由题基本事件空间中的元素有：，满足题意的有，所以选B. 10. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （A）54     （B）27            （C）18     （D）  9 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）满足，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为________． 参考答案： 18x－y－16＝0 12. （5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=　　． 参考答案： 55 【考点】： 类比推理． 【专题】： 计算题；推理和证明． 【分析】： 观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果． 解：观察下列等式 =2，=3，=4，…， 照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48， ∴a+b=55， 故答案为：55 【点评】： 本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系． 13. 已知定义在上的偶函数满足:,且当 时,单调递减,给出以下四个命题: ①; ②为函数图像的一条对称轴; ③函数在单调递增; ④若关于的方程在上的两根,则. 以上命题中所有正确的命题的序号为_______________. 参考答案： ①②④ 略 14. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）． （1）求关于的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？ 参考答案： 略 15. 已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是________. 参考答案： (－∞，1) 略 16. =          . 参考答案： 答案：   17. 函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为              ； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于、两点，点Q是点P关于原点的对称点。 （1）设，证明：； （2）设直线AB的方程是，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。 参考答案： 解: (1) 由题意，可设直线的方程为，代入抛物线方程得               ① 设、两点的坐标分别是，则是方程①的两根，所以 由得，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为，从而 所以 (2) 由得的坐标分别为 抛物线在点A处切线的斜率为3. 设圆C的方程是，则 解之得 故，圆C的方程是 略 19.      某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米) 以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ． (I) 求这次铅球测试成绩合格的人数； (II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率 参考答案： （I）解：：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　    　 ∴此次测试总人数为(人).                      …………（2分） ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)      ………（4分） （II）的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为, ∴～.                                            …………5分 X 0 1 2 P ，.　………7分所求的的分布列为       略 20. 设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． 　 参考答案： 解：（1）设数列{an}的公比为q，由a1=2，a3﹣a2=12， 得：2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0． 解得q=3或q=﹣2， ∵q＞0， ∴q=﹣2不合题意，舍去，故q=3． ∴an=2×3n﹣1； （2）∵数列{bn}是首项b1=1，公差d=2的等差数列， ∴bn=2n﹣1， ∴Sn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn） =+ =3n﹣1+n2． 略 21.   如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是、的中点，点在直线上，且满足。 （1）证明：； （2）若平面与平面所成的角为，试确定点的位置。   参考答案： （1）略。（2）点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝． （1）          证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz． 则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），                      （2分） 从而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），                   （2分） ＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM;               （3分） （2）平面ABC的一个法向量为n＝＝（0,0,1）．（1分） 设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z）， 由（1）得＝（λ，－1，）．           （2分） 由      （1分） 解得．                （1分） ∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°， ∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，               （1分） 解得λ＝－．    故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．             （2分）   略 22. （本小题满分13分） 设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值；       （Ⅱ）求在区间上的值域； （Ⅲ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到， 求的单调增区间． 参考答案： 解：  （Ⅰ）                           …………2分                      …………4分 依题意得，故的值为.                               …………5分 （Ⅱ）因为所以，                    …………6分                                      …………8分 ，即的值域为