湖南省岳阳市文星镇南郊中学高三数学文测试题含解析

湖南省岳阳市文星镇南郊中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是(    )       (A)S10      (B)S11       (C)S20      (D) S21 参考答案： C   解：3(a+7d)=5(a+12d)，Td=－a，令an=a－a (n－1)≥0，an+1= a－a n<0，得n=20．选C． 2. 已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线与轴交于点C， 于点，若四边形的面积为，则准线的方程为 A．         B．         C．         D． 参考答案： A 设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°， ∵四边形AA1CF的面积为， ∴=， ∴m=，∴=， ∴准线l的方程为x=﹣， 故选A．   3. 函数在下列哪个区间上是减函数（    ）                      A．       B．       C．         D． 参考答案： B 4. 已知集合          (     ) 参考答案： A 5. 曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（     ） A. -9         B. -3         C.9             D.15 参考答案： C 略 6. 已知，满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为 A．    B．    C．    D． 参考答案： A 7. 已知为坐标原点，直线与圆分别交于两点．若，则实数的值为（   ） A．1 B． C． D． 参考答案： D 8. 若直线3x﹣4y﹣m=0（m＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4相切，则实数m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： A 【考点】圆的切线方程． 【专题】转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，求得m的值． 【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣m=0（m＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4相切， ∴圆心（3，4）到直线3x﹣4y﹣m=0的距离等于半径2，即=2， 求得m=3， 故选：A． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9. 已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则 （　 　） （A）             （B）         （C）          （D） 参考答案： 略 10. 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校200名高三学生,得到如图的频率分布直方图.由于不慎丢失部分数据,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到4.9之间的学生数为b,则a,b的值分别为  A.0.27 ,132            B.0.27,166    C.2.7,132              D.2.7,166 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答） 参考答案：        12. ，则的最小值为              . 参考答案： 6  略 13. 已知变量a，θ∈R，则的最小值为           ． 参考答案： 9 略 14. 若关于x的不等式存在实数解，则实数a的取值范围是            参考答案： 15. 若“”是真命题，则实数的最小值为          参考答案： 1 16. 过两点(5,7)(1,3)的直线方程为        若点(a,12)在此直线上,则a=            . 参考答案： x-y+2=0;   10 17. 如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径          ．   参考答案： 4 因为根据已知条件可知，连接AC，，，根据切线定理可知, ,可以解得为4. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且满足an+1=Sn+2n+1（n∈N*）． （1）证明数列{}为等差数列． （2）求S1+S2+…+Sn． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）由满足an+1=Sn+2n+1（n∈N*）．可知，Sn+1﹣Sn=Sn+2n+1，即﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出． （2）由（1）可知， =1+n﹣1=n，即Sn=n?2n，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（1）证明：由满足an+1=Sn+2n+1（n∈N*）．可知，Sn+1﹣Sn=Sn+2n+1，即﹣=1． 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列． （2）解：由（1）可知， =1+n﹣1=n，即Sn=n?2n， 令Tn=S1+S2+…+Sn=2+2×22+3×23+…+n?2n， 2Tn=22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1， ∴﹣Tn=2+22+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=（1﹣n）?2n+1﹣2， 整理得：Tn=2+（n﹣1）?2n+1． 19. （本小题满分15分）   已知函数， （Ⅰ）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围； （Ⅱ）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围． 参考答案： 解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，…………………………………………………2分 所以，…………………………………………………………………4分 解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分 (2) ①当时， a)时，，，所以 ， b)时，，所以 ……8分  ⅰ当即时，对，，所以 在上递增， 所以 ，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合……10分  ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求．………12分 ②当时， a) 时，，，所以 b) 时，，， 所以  ，在上递减， 所以 ，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合………14分 综上所述，实数a的取值范围是．………………………………………………15分 20. (本小题满分12分) 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表： 小微企业短缺 资金额(万元) [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 频率 0.05 0.1 0.35 0.3 0.2 (1)试估计该市小微企业资金缺额的平均值； (2)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业3家小微企业和B行业的2家小微企业中随机选取3家小微企业，进行跟踪调研．设选取的3家小微企业中A行业的小微企业的个数至少有2家的概率． 参考答案： (1)由统计表得，该市小微企业资金缺额的平均值约为 ＝10×0.05＋30×0.1＋50×0.35＋70×0.3＋90×0.2＝60(万元)．………5分 (2) 记选取的3家小微企业中A行业的小微企业的个数至少有2家为事件C，记A行业的小微企业选取2家为事件，记A行业的小微企业选取3家为事件，………6分 则，  ……………8分         ，………10分 所以P(C)= P()+P()=………12分 21. 已知（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y-2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈，使得对?t∈上恒有f（x）≥t3-t2-2at+2成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2． 参考答案： （Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得， 由条件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1， ∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1， 故只需t3-t2-2at+2≤1，即对任意的上恒成立， 令，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增， 而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为 （Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0， ∴g（x1）=g（x2）=0， ∴，，相加可得，相减可得， 由两式易得：；要证，即证明，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故?（t）在（1，+∞）上是增函数， ∴?（t）＞?（1）=0，∴，故原不等式成立． 22. （本小题满分15分） 如图，椭圆的左、右焦点分别为，已知点 和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；  (2)设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点，(I)若，求直线的斜率；(II)求证：是定值. 参考答案： 解 (1) 由题设知. 由点(1,e)在椭圆上，得 解得，于是， 又点在椭圆上，所以，即，解得 因此，所求椭圆的方程是.....................4分 (2)   由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为, 直线的方程为.设 由得,解得 故① 同理, ② (ⅰ)由①②得解得，..........9分 因为，故，所以直线的斜率为 （ⅱ）因为直线与平行,所以,于是 故.由点B在椭圆上知 从而.同理 因此 又由①②知 所以.因此是定值.....15分   略