湖北省武汉市第一初级中学2022-2023学年高二数学文月考试题含解析

湖北省武汉市第一初级中学2022-2023学年高二数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ①学校为了解高一学生的情况,从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90～100分,12人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道.就这三件事,合适的抽样方法为  ( ) A. 分层抽样,分层抽样,简单随机抽样        B. 系统抽样,系统抽样,简单随机抽样 C. 分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样    D. 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样 参考答案： D 略 2. 若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A.      B.       C.         D. 参考答案： C 略 3. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可． 【解答】解：取BD的中点E，连结CE，AE， ∵平面ABD⊥平面CBD， ∴CE⊥AE， ∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图， ∵BD=，∴CE=AE=， ∴△CEA的面积S=， 故选：B． 【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，根据三棱锥的结构得到三棱锥的侧视图是解决本题的关键． 4. 点的直角坐标是，在的条件下，它的极坐标是（   ） A       B     C       D    参考答案： A 5. 如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为，则则(　　)   A． B．    C．    D． 参考答案： B 略 6. 在同一坐标系中，方程的曲线大致是 （   ） 参考答案： A 7. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在（0，）上不是凸函数的是                                                         （    ）    A.                         B.     C.                         D. 参考答案： D 8. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是(   ) A.<4   B.>4      C.<5 D.>5 参考答案： B 9. 设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点(,0)分成3:1的两段，则此椭圆的离心率为 A.    B.    C.    D. 参考答案： C 10. 已知椭圆的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若四边形是正方形，则此椭圆的离心率等于 A．            B．             C．           D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=　　． 参考答案： 120 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3项的系数，求和即可． 【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式展开式中，含x3y0的系数是： =20，故f（3，0）=20； 含x2y1的系数是=60，故f（2，1）=60； 含x1y2的系数是=36，故f（1，2）=36； 含x0y3的系数是=4，故f（0，3）=4； ∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120． 故答案为：120． 12. （5分）点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点的坐标是　　． 参考答案： （1，1，2） 【考点】： 空间中的点的坐标． 【专题】： 计算题． 【分析】： 直接利用空间直角坐标系，求出点P（1，1，2）关于xoy平面的对称点的坐标即可． 解：点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点，纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标（1，1，2）， 故答案为：（1，1，2）． 【点评】： 本题是基础题，考查空间直角坐标系对称点的坐标的求法，考查计算能力． 13. 已知函数，，若与的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是__________． 参考答案：   14. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔距离为__________km. 参考答案： 30 15. 已知函数的对称中心为，记函数的导数为，函数的导数为，则有；反之也成立.若函数 ，则                . 参考答案： －8050 略 16. 已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________ 参考答案： 【分析】 对m进行分类讨论，、时分别分析函数的单调性，对m的取值范围进行进一步分类讨论，求出该函数在区间上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范围. 【详解】①当时，函数外层单调递减， 内层二次函数： 当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， ，解得：； 当，即时，无意义； 当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减， 则需，无解； 当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增， ，无解. ②当时，函数外层单调递增， ，二次函数单调递增，函数单调递增， 所以，解得：. 综上所述：或. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，若大于0恒成立，则最小值大于0，若小于0恒成立则最大值小于0，注意对参数进行分类讨论，区分存在性问题与恒成立问题. 17. 直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为____________． 参考答案：    16.或. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分16分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于M，N两点，直线与的交点为G． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：点G在一条定直线上．     参考答案： 解(1)由椭圆两个顶点分别为，题设可知． -----------------2分 因为，即，所以． 又因为，所以．                   ---------------------4分 所以，所求的椭圆的标准方程为.                  -------------------- 6分 (2)解法一：由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为．                                               --------------------------8分 联立方程组，消去y得， 解得点．同理，解得点.           ----------------------12分 由M，D，N三点共线，有，化简得． 由题设可知与同号，所以．                 --------------------------14分 联立方程组，解得交点．将代入点G的横坐标， 得．所以，点G恒在定直线上．     -------- 16分 解法二： 显然，直线MN的斜率为时不合题意．设直线MN的方程为．     令，解得或． 当时，直线的方程为，直线的方程为 ．联立方程组，解得交点； 当时，由对称性可知交点． 若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为．     ---------------------------------------10分 下面证明对于任意的实数，直线与直线的交点均在直线上． 设．由点，，三点共线，有，即． 再由点，，三点共线，有，即．所以，．① 将，代入①式，化简得． ②    ----------------14分 联立方程组，消去得， 从而有．将其代入②式，有成立． 故当m为任意实数时，直线与直线的交点G均在直线上．--------------------- 16分   19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,是等边三角形,,,. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若平面平面ABCD,,求三棱锥的体积 参考答案： 证明：（Ⅰ）取的中点，连接 为等边三角形 ，， 四边形为矩形 ,平面 又平面， (Ⅱ)由（Ⅰ）知 又平面平面，平面平面， 平面 平面,为三棱柱的高 为等边三角形，，得, , 20. 已知函数. （1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)的最大值，并说明取最大值时对应的x的值. 参考答案： （1）f(x)的最小正周期为（2）时，f(x)取得最大值 【分析】 降次化为的形式再通过 求出最小正周期。 根据的性质求出最大值即可。 【详解】（1）， 所以的最小正周期为. （2）由（1）知. 当时，即时，取得最大值. 【点睛】本题考查三角函数的基本性质，属于基础题。 21. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点． （1）求证：EF∥平面ABC； （2）求证：平面AEF⊥平面PAB． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC； （2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB． 【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点． ∴EF∥BC， 又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC， ∴EF∥平面ABC； （2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA⊥BC， 又∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， 又∵PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， 由（1）中EF∥BC， ∴EF⊥平面PAB， 又∵EF?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面PAB． 22. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， （1）若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方程； （2）设圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆N的标准方程； （3）在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程． 参考答案： （1）；（2）；（3）或. 【分析】 （1）由条件设圆M方程（），条件②说明M点及圆M与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，再由条件①，列出a,r的方程组可得. （2）设圆N：，由圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，列方程组求解. （3）设圆C：，由条件①②得到a,b关系，再利用基本不等式求C到的距离