2022-2023学年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学试题【含答案】

合肥市2023年高三第一次教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2．作答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．作答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（） A. B. C. D. 3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（） A. 0.495% B. 0.9405% C. 0.99% D. 0.9995% 4. 将函数图像上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于轴对称，则的值为（） A. B. C. D. 5. 已知p：，q：，则p是q（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 抛物线E：的焦点为F，曲线l：交抛物线E于A，B两点，则的面积为（） A. 4 B. 6 C. D. 8 8. 已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，函数的图象可能是（） A. B. C. D. 10. 已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（） A. B. C. 0 D. 1 11. 已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（） A. 三角形面积的最大值为 B. 三棱锥体积的最大值 C. 四面体外接球表面积的最小值为11 D. 直线SP与平面所成角余弦值的最小值为 12. 已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确是（） A. 是奇函数 B. 在区间上有且只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 区间上有且只有一个极值点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置． 13. 函数在点处的切线与直线平行，则实数______． 14. 二项式展开式中，的系数是______． 15. 已知AB为圆C：的一条弦，M为线段AB的中点．若（O为坐标原点），则实数m的取值范围是______． 16. 已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，． （1）求通项公式； （2）求证：． 18. 如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N． （1）求证：平面ABCD； （2）求多面体的体积． 19. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且． （1）若，求A的大小； （2）当取得最大值时，试判断的形状． 20. 已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点． （1）求点所在的曲线E的方程； （2）设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程． 21. 研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（℃） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：，． （1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； （2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）． 参考公式：，． 22. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x方程有两个实数解，求a的最大整数值． 合肥市2023年高三第一次教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2．作答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．作答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可求得，即可求得结果. 【详解】由可得， 所以复数的虚部为. 故选：A 2. 设集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两集合中的元素特征可知，集合分别表示的是的奇数倍和整数倍，根据补集运算可知表示的应是的偶数倍. 【详解】由题意可知，，可知集合表示的是的奇数倍， 而由可知，集合表示的是的整数倍， 即，所以. 故选：B 3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（） A. 0.495% B. 0.9405% C. 0.99% D. 0.9995% 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解. 【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为， 故选：A 4. 将函数图像上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于轴对称，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图像变化得到曲线C为：，由图像关于轴对称得，进而可求得答案. 【详解】由题意得变化后的曲线C为：， 曲线C的图像关于轴对称，故，又， 即当， 故选：B. 5. 已知p：，q：，则p是q的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】令,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立. 【详解】令，， 且， 故为奇函数， 时，递增，则也递增， 又为奇函数，则在上递增， ，若，则， 则，即 即； ，若， 则等价于，即， 由在上递增，则，即， 故p是q的充要条件， 故选：C. 6. 已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点为原点，建立直角坐标系，可知两点都是圆上的动点，当直线斜率不存在时，可得，直线斜率存在时，可得到或，再讨论与的大小关系，即可求解. 【详解】以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，易知两点都是圆上的动点， 当直线斜率不存在时，， 此时，，则 当直线斜率不存在时，可设直线的方程为， 当时，联立，解得，， 则，， ； 同理，当时，，， ， 综上所述，的取值范围是， 故答案选：D. 7. 抛物线E：的焦点为F，曲线l：交抛物线E于A，B两点，则的面积为（） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别联立直线与抛物线方程得到点的坐标，然后结合两点间距离公式以及点到直线的距离公式即可得到结果. 【详解】因为曲线l：，当时，；当时，， 当时，联立直线与抛物线，解得， 设， 当时，联立直线与抛物线，解得， 设， 又因为，则，则可得， 即点到直线的距离为， , 则 故选:D 8. 已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答. 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，函数的图象可能是（） A. B. C. D