江苏省无锡市堰桥中学高二数学文月考试卷含解析

江苏省无锡市堰桥中学高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（　　） A．（1，9] B．[1，+∞） C．[1，9）∪（9，+∞） D．（9，+∞） 参考答案： C 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】利用直线2kx﹣y+1=0恒过的定点在椭圆内或椭圆上，计算即得结论． 【解答】解：∵直线2kx﹣y+1=0恒过定点P（0，1）， ∴直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点， 即点P（0，1）在椭圆内或椭圆上， ∴+≤1，即m≥1， 又m≠9，否则是圆而非椭圆， ∴1≤m＜9或m＞9， 故选：C． 2. 已知变量x、y满足约束条件  ，则可行域的面积为  (     )    A.20                B.25            C.40            D.50 参考答案： B 3. 已知数列{an}的第1项a1=1，且an+1=（n=1，2，3，…），则数列{an}的第10项a10=（　　） 　 A． 1 B． C． D． 参考答案： C 4. 函数f（x）的导函数为f′（x），对?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（ln2）=2，则不等式f（x）＞ex的解是（　　） A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2 参考答案： C 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案． 【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立， ∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0， 令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增， ∵不等式f（x）＞ex， ∴g（x）＞1， ∵f（ln2）=2， ∴g（ln2）=1， ∴x＞ln2， 故选：C． 【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性． 5. 将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为(　　) A.        B.        C.        D. 参考答案： C 略 6. 当直线y=ax与曲线有3个公共点时，实数a的取值范围是 A.         B.         C.(0, 1)           D.(0, 1]                       参考答案： C 略 7. 直线与圆的位置关系是   （  *   ）. A.相离          B.相切          C.相交           D.不确定 参考答案： C 略 8. 已知函数，则 A． 是的极大值点               B．  是的极小值点 C． 是的极小值点             D． 是的极小值点 参考答案： B 略 9. 某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 甲，乙 乙，丙 丙，丁 丁，戊 甲，戊 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200   则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（  ） A. 甲 B. 乙 C. 丁 D. 戊 参考答案： C 【分析】 先阅读题意，再结合简单的合情推理计算可得解． 【详解】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a、b、c、d、e， 则a+b＝120，b+c＝220，c+d＝160，d+e＝140，a+e＝200， 解得：a＝60，b＝60，c＝160，d＝0，e＝140， 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁， 故选：C． 【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题． 10. 的展开式中的第7项是常数,则正整数n的值为(  ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 参考答案： B 【分析】 利用通项公式即可得出． 【详解】的展开式的第7项﹣9， 令 ＝0，解得n＝18． 故选：B． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是__________。 参考答案： (－2, －1) 因为方程表示双曲线， 所以，解得， 所以实数的取值范围是.   12. 如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=　     　． 参考答案： -1 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解． 【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数， ∴，解得：x=﹣1． 故答案为：﹣1． 13. 设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________. 参考答案： 14. 已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为　　． 参考答案： ﹣1 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求． 【解答】解：依题意可知，抛物线x2=4y的焦点F为（0，1）， 准线方程为y=﹣1， 只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可， （因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果）， 由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点F的距离， 此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可， 显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|， 由两点间距离公式得|FA|==， 那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣1=﹣1． 故答案为：﹣1． 15. 已知函数f(x)=，则的值为        . 参考答案： 16. 函数的定义域是__________． 参考答案： 【分析】 根据解析式，列出不等式组，求解，即可得出结果. 【详解】因为，   求其定义域只需，即， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查求具体函数解析式，只需使解析式有意义即可，属于常考题型. 17. 如图，直线l是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为　　． 参考答案：   【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】根据导数的几何意义，f'（3）是曲线在（3，3）处的切线斜率为：f'（3）==﹣，又f（3）=3，可得结论． 【解答】解：由题意，f'（3）==﹣，f（3）=3， 所以f（3）+f′（3）=﹣+3=， 故答案为：． 【点评】本题考查了导数的几何意义．属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点.    （1）证明：    （2）若且的面积及椭圆方程．     参考答案： 略 19. 已知函数，. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，函数的两个极值点为，，且.求证：. 参考答案： （Ⅰ）因为，所以，，于是有： ，，切点为. 故切线方程为. （Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，，可得，且， 因为，则，可得. ，， 令，，， ，又，时，， 而，故在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上单调递减， 所以，得证. 20. （本题10分）某校高三某班的一次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（2）求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求分数在[90,100]之间的份数的数学期望． 参考答案： 解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08，                               由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为=25，   ┄┄┄┄2分      (2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2=4；　　　　　　　　　　　 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016．                ┄┄┄┄ 5分    (3)由（2）知分数在[80,90)之间的人数为4，由茎叶图可知分数在[90,100]之间的人数为2 ，的可能取值为0，1，2．                       ，┄┄┄┄8分      随机变量的分布列为 数学期望．　　　　　　      　┄┄┄┄ 10分 21. （13）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为． ①        ②          ③             ④ （1）求出，，，的值； （2）利用归纳推理，归纳出与的关系式； （3）猜想的表达式，并写出推导过程．     参考答案： （1）图①中只有一个小正方形，得f（1）=1； 图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25； 图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）=41； （2）∵f（1）=1； f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41； ∴f（2）-f（1）=4=4×1； ∴f（3）-f（2）=8=4×2； ∴f（4）-f（3）=12=4×3； ∴f（5）-f（4）=16=4×4； … ∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4． ∴f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）-f（n）=4n． （3）猜想f（n）的表达式：2n2-2n+1． 由（2）可知 f（2）-f（1）=4=4×1； f（3）-f（2）=8=4×2； f（4）-f（3）=12=4×3； f（5）-f（4）=16=4×4； … ∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4． 将上述n-1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1）） =4× =2n2-2n+1． f（n）的表达式为：2n2-2n+1． 22. Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法． 【分析】（