江苏省常州市市西郊吕墅中学高三数学文模拟试题含解析

江苏省常州市市西郊吕墅中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若存在，则   A.             B.               C.            D. 参考答案： D 2. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成 立，则 A.                  B. C.                     D. 参考答案： B 3. 已知对任意实数，有，且时，， 则时   （   ） A．                      B． C．                      D． 参考答案： B 4. 下列不等式一定成立的是（   ） A．            B． C．              D． 参考答案： 【知识点】不等式比较大小．   E1 【答案解析】C  解析：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2； C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0， D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立 综上，C选项是正确的.故选C 【思路点拨】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可. 5. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象的一条对称轴方程是 A、　　　B、　　　　　C、　　　D、 参考答案： D 平移后所得图象对应的函数为，由    得，于是当时，． 6. 函数的图象（    ） （A）关于原点对称                       （B）关于轴对称 （C）关于轴对称                       （D）关于直线对称 参考答案： C 7. 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为 A. 2        B. －1           C. －1或2           D. 0 参考答案： B 因为函数为幂函数，所以，即，解得或.因为幂函数在，所以，即，所以.选B. 8. 如右下图，定圆半径为，圆心为，则直线与直线的交点在 (A)第四象限         (B)第三象限   (C)第二象限         (D)第一象限   参考答案： 答案：B 9. 已知矩形的四个顶点的坐标分别是，，，，其中两点在曲线上，如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形中，则骰子落入阴影区域的概率是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 10. 已知定义域为R的奇函数f(x)，当时，满足， 则 A．log25     B．－log25     C．－2     D．0 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为______ 参考答案： 6 12. 已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a的取值范围是___________    参考答案： 略 13. 已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a9=4，则数列{log2an}的前9项之和为　   　． 参考答案： 9 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知结合等比数列的性质求得a5，再由对数的运算性质得答案． 【解答】解：∵an＞0，且a1a9=4， ∴，a5=2． ∴log2a1+log2a2+…+log2a9 ==9log22=9． 故答案为：9． 14. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为          ． 参考答案： 略 15. 在中，，，设交于点，且， ，则的值为         . 参考答案： 试题分析:由题设可得,即,也即,所以,解之得,故,应填. 考点：向量的几何运算及待定系数法的运用． 【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的关系为背景精心设置了一道求其中参数的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组,然后运用待定系数法建立方程组,然后通过解方程组使得问题巧妙获解. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为、、，若，则      . 参考答案： 4 略 17. 在中，，则△ABC的面积等于               。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=t（Sn﹣an+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）． （1）证明：{an}成等比数列； （2）设，若数列{bn}为等比数列，求t的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）由Sn=t（Sn﹣an+1）求出数列首项，且得到n≥2时，Sn=t（Sn﹣an+1），与原递推式联立可得{an}成等比数列； （2）由（1）求出{an}的通项和前n项和Sn，代入，由数列{bn}为等比数列，得，即可求得t值； （3）由（2）中的t值，可得数列{cn}的前n项和为Tn，代入≥2n﹣7，分离参数k，在由数列的单调性求得最值得答案． 【解答】（1）证明：由Sn=t（Sn﹣an+1）， 当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t， 当n≥2时，Sn=t（Sn﹣an+1），即（1﹣t）Sn=﹣tan+t，（1﹣t）Sn﹣1=﹣tan﹣1+t， ∴an=tan﹣1， 故{an}成等比数列； （2）由（1）知{an}成等比数列且公比是t，∴， 故，即， 若数列{bn}是等比数列，则有，而 故[t3（2t+1）]2=（2t2）?t4（2t2+t+1），解得， 再将代入bn得：． 由知{bn}为等比数列，∴； （3）由，知，， ∴， 由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，得， 令， 由， 当n≤4时，dn+1＞dn，当n≥4时，dn+1＜dn， 而，∴d4＜d5，则，得． 19. （本小题满分12分）已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点 （1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值； （2）若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点. 参考答案： 【知识点】抛物线的简单性质．H7 (1) 时，△EMN的面积取最小值4； (2) 见解析 解析：（Ⅰ）当时，E为抛物线的焦点， ∵，∴AB⊥CD 设AB方程为， 由，得， AB中点，∴， 同理，点……2分 ∴……4分 当且仅当，即时，△EMN的面积取最小值4．          …6分 （Ⅱ）证明：设AB方程为， 由，得， AB中点，∴， 同理，点……8分 ∴            …10分 ∴MN：，即 ∴直线MN恒过定点．          …12分 【思路点拨】（1）不妨设AB的斜率k1=k＞0，求出CD的斜率k2=＜0，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，再求出直线MN与x轴的交点坐标，可得△EMN的面积，利用基本不等式求△MCD面积的最小值； （2）不妨设AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=1﹣m，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线过的定点坐标． 20. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点， （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程． 参考答案： （1），（2）． （1）由题意可知双曲线的焦点，， 所以椭圆的C：中a＝5，········································1分 根据，解得c＝，所以，·································3分 所以椭圆的标准方程为．·································4分 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，， 设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：， 消去可得：， 由，得， 化简可得：， 由，可得，， 所以上式可化为：， ∴，， 所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分 同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分 联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分 而A，B都在直线上，所以有，所以， 所以，即此时的交点的轨迹方程为；·····11分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点． 综上所述，交点的轨迹方程为．······································12分 21. 已知数列{}的前n项和为，且．     (I)求数列{}的通项公式；       (Ⅱ)设，求数列{}的前n项和. 参考答案： 22. 设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数k（x）的表达式； （Ⅱ）求证：（n∈N*）． 参考答案： 【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（﹣1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式． （Ⅱ）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．… 由为偶函数，得为偶函数，显然有．… 又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．… 又因为对一切实数x恒成立， 即对一切实数x，不等式恒成立．… 显然，当时，不符合题意．… 当时，应满足， 注意到，解得．…  所以． … （Ⅱ）证明：因为，所以．… 要证不等式成立， 即证．… 因为，… 所以=． 所以成立．…