广西壮族自治区桂林市石塘中学高三数学文测试题含解析

广西壮族自治区桂林市石塘中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是   （A）1              （B）8       （C）          （D） 参考答案： 2. 若，且，则=（    ）    A．            B．         C．            D．－ 参考答案： 答案：B 3. 已知集合,,则(   ) A． B． C． D． 参考答案： C 试题分析：因为，所以，故选C． 考点：集合的交集运算． 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（　　） A．63 B．45 C．36 D．27 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得． 【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45 ∴a7+a8+a9=45 故选B． 5. 函数的图象大致为   参考答案： A 由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.   6. 在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意画出图形，把分别用表示，展开后得答案． 【解答】解：如图， ，＜＞=60°， ∵D，E是边BC的两个三等分点， ∴== ==． 故选：C． 7. 设{an}是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于 A．12 B．24 C．36 D．48 参考答案： B 8. 已知为全集，,则（    ） （A）      （B） （C）          （D） 参考答案： C 略 9. 有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 参考答案： A 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【分析】由题意作出文氏图，能求出只持有B股票的股民人数.. 【解答】解：由题意作出文氏图，如下： 其中m+n+p=7． ∴只持有B股票的股民人数是7人． 故选：A． 10. 函数的图像大致形状是（     ） 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是　    ． 参考答案： 2 【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积的公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则 =﹣x+y， 设z=﹣x+y，则y=x+z， 平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大， 由得，得A（0，2）， 此时z=﹣0+2=2， 故的最大值是2， 故答案为：2． 12. 盒子中有红、蓝、黄各1个小球和3个相同的白色小球，将6个小球平均分给3位同学，若3位同学各有1个白球，共有　 　种不同的分法；若恰有1位同学分得2个白球，共有　 　种不同的分法． 参考答案： 6，18 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】对于第一空，分2步分析：①、先将3个白球每人一个，分给三个同学，②、将红、蓝、黄三个小球全排列，分给三个同学，由分步计数原理计算可得答案； 对于第二空，分3步进行分析：①、先3个白球中取出2个，给3个人中的一个，②、将红、蓝、黄三个小球和剩下的1个白球分成2组，③、将分好的2组全排列，分给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：对于第一空，分2步分析： ①、先将3个白球每人一个，分给三个同学，有1种情况， ②、将红、蓝、黄三个小球全排列，分给三个同学，有A33=6种情况， 则3位同学各有1个白球，有1×6=6种分法； 对于第二空，分3步进行分析： ①、先3个白球中取出2个，给3个人中的一个，有C31=3种情况， ②、将红、蓝、黄三个小球和剩下的1个白球分成2组，有C42=3种分组方法， ③、将分好的2组全排列，分给剩下的2人，有A22=2种情况， 则恰有1位同学分得2个白球，有3×3×2=18种分法； 故答案为：6，18． 　 13. 已知，，        。 参考答案： ，所以,. 14. 若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________． 参考答案： 15. 如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有  ▲   种．　               参考答案： 13 16. 从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为       。 参考答案： 25，60，15 17. （坐标系与参数方程选讲选做题）曲线：（为参数）的普通方程为   ▲   . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面   ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． ???（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； ???（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离． 参考答案： 解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B，C，D，P，E的坐标为A（0，0，0）， B （，0，0），C （，1，0） ， D （0，1，0） ，P （0，0，2） ，E （0，，1） 从而 （4分） 设的夹角为θ， 则∴AC与PB所成角的余弦值为．（8分） （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为， 则，由NE⊥面PAC可得，   ∴ 即N点的坐标为（，0，1）， 从而N点到AB和AP的距离分别为1，。    （12分） 19. （本小题满分14分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是. （Ⅰ）求实数的值；  （Ⅱ）求在区间上的最大值； （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由. 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，，则。 依题意得：，即    解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ①当时，，令得 当变化时，的变化情况如下表： 0 — 0 + 0 — 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，，。∴在上的最大值为2. ②当时, .当时, ,最大值为0； 当时, 在上单调递增。∴在最大值为。 综上，当时，即时，在区间上的最大值为2； 当时，即时，在区间上的最大值为。 （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。 不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴ 即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q. 若，则代入（*）式得：即，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得：    即   （**） 令 ，则∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。 因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。 20. （本小题满分分）已知函数． （1）求  的解集； （2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围． 参考答案： （1） ∴即 ∴① 或② 或③ 解得不等式①：；②：无解 ③： 所以的解集为或．                      ………5分 （2）即的图象恒在图象的上方 图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴ 由图可知，要使得的图象恒在图象的上方 ∴实数的取值范围为．     ………10分 21. （12分） 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列， 使，记     （1）已知，求前两次均为正面，之后反面的有且只有两次是连续出现的概率。     （2）出现正面记2分，出现反面记分，此人共抛掷了三次硬币，求得分的数学期望。 参考答案： 解析：（1）当前两次出现正面时，要使，需后6次3次正面3次反面，其中反面有两次是连续出现的，设其概率为，则………………6分     （2）用表示得分，分布列为： 0 3 6      得分的数学期望为：………………12分 22. （13分）（2012?长春模拟）如图，椭圆经过点（0，1），离心率． （l）求椭圆C的方程； （2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 参考答案： 考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．  专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得 （2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x1=my1+1，x2=my2+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）． 解答： 解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1． 所以，椭圆C的方程是； （2）由 得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my﹣3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2） 则A′（x1，﹣y1）． 且． 经过点A′（x1，﹣y1）， B（x2，y2）的直线方程为． 令y=0，则 又∵x1=my1+1，x2=my2+1．∴当y=0时， 这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）． 点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．