广东省汕头市金砂中学2022年高三数学文期末试题含解析

广东省汕头市金砂中学2022年高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且,则等于(　　) A.1　　　   B.2　　   　C.3　　　   　D.4 参考答案： 【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4 【答案解析】B   解析：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2）， ∴当x=-2时，有f（2）=f（2）+2f（2），即f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3），∵f（-3）=2，∴f（-3）=f（3）=2，即f（2015）=2， 故答案为：2 【思路点拨】我们通过令特殊值求出的值，然后得到函数的周期，结合奇偶性即可求值. 2. 设，且为正实数，则 A.2             B.1            C.0             D. 参考答案： D 3. 在等比数列{an}中，，，则（   ） A. 3 B. ±3 C. D. 参考答案： A 【分析】 先设等比数列的公比为，根据题中条件判断公比为正，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 又，所以. 故选A 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型. 4. 在△中，，则角等于（    ） A．         B．          C．         D． 参考答案： 5. 已知双曲线标准方程为，则双曲线离心率为 A． B．3 C． D． 参考答案： C 6. 给出30个数：1，2，4，7，11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推.下图是计算这30个数和的程序框图，则图中（1）、（2）应分别填上的是（    ） A. i≤30；m=m+i -1         B. i≤31；m=m+i-1[ C. i≤30；m=m+i            D. i≤31；m=m+i 参考答案： C 略 7. 如图所示为函数的部分图像，其中A,B两点之间的距离为5，那么 A. B. C. D.1 参考答案： D 略 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an+1，则Sn=（　　） A．2n﹣1 B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．(3n﹣1) 参考答案： C 【考点】数列的求和． 【分析】利用当n≥2时，2Sn=an+1，2Sn﹣1=an，两式相减得3an=an+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出，n=1时单独考虑． 【解答】解：当n=1时，∵a1=1，2S1=a2，∴a2=2． 当n≥2时，由2Sn=an+1，2Sn﹣1=an，两式相减得2an=an+1﹣an， ∴an+1=3an， ∴数列{an}是以a2=2，3为公比的等比数列， ∴=3n﹣1， 当n=1时，上式也成立． 故选C． 【点评】熟练掌握an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）及等比数列的前n项和公式是解题的关键． 9. 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，则的虚部为（    ） A．       B．       C．       D．       参考答案： D 10. 已知：，：,则是的     A.充分不必要条件                B.必要不充分条件     C.充要条件                      D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5， 双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行， 则实数　       ． 参考答案： 因为抛物线的准线为，则有，得，所以, 又双曲线的左顶点坐标为，则有，解得. 12. 已知，则   ▲   . 参考答案： 略 13. 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是　　． 参考答案： 20 【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质． 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值． 【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10， ∴， 解得a1=﹣4，d=3， ∴a9=﹣4+8×3=20． 故答案为：20． 14. 有下列命题: ①若，则一定有;   ②将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像 ③命题“若，则或”得否命题是“若，则” ④ 方程表示圆的充要条件是．   ⑤对于命题：,使得，则：，均有 其中假命题的序号是               参考答案： ①③④ 略 15. 某学生对函数　f(x)＝2x·cosx的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数　f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减； ②点(，0)是函数　y＝f(x)图象的一个对称中心； ③函数　y＝f(x)图象关于直线x＝π对称； ④存在常数M >0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立． 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号) 参考答案： ④ 16. 满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为　 　． 参考答案： 1 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，2）， 联立，解得B（2，3）， ∴|BC|=2，A到BC所在直线的距离为1． ∴可行域面积为S=． 故答案为：1． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 17. 已知为第四象限角，则          . 参考答案： ． ，，因为为第四象限角，，所以． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点. （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形， 所以, 所以平面，三棱柱是直三棱柱.……………………1分 因为平面，所以，　　……2分 又因为，为中点， 所以.             ………………………3分 因为, 所以平面.       …………………4分 （Ⅱ）证明：连结，交于点，连结， 因为为正方形，所以为中点， 又为中点，所以为中位线， 所以，          …………………6分 因为平面，平面， 所以平面.     ……………………8分 (Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ， 所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系. 设，则. ，  …………………………………9分 设平面的法向量为，则有 取，得.             …………………………10分 又因为平面，所以平面的法向量为， 设二面角的平面角为，则 ∴  …………………11分 所以，二面角的余弦值为.    …………………………………12分 19. 在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若△ABC的面积，．求的值． 参考答案： 解：（1）． ，可得：，解得：，或， 为锐角三角形， ， 可得：． （2），可得：， 又，可得：， 在中，由余弦定理可知，， ， 在中，由正弦定理可知：，可得：． 20. （本小题满分12分） 如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，底面，，点在棱上，点是棱的中点 （1）当平面时，求的长； （2）当时，求二面角的余弦值。 参考答案： 21. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直， (1)求实数a、b的值；   (2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围． 参考答案： 解：(1)∵的图象经过点 ∴.①                         ---- ，② 由①②式解得.           (2) ，，     或，  ∴m≥0或m≤－3. 22. 如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和. （1）将表示为的函数； （2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？          参考答案： 解析： （Ⅰ）      （Ⅱ）依题意，满足 解不等式组，其解集为 所以