广东省梅州市工度中学2022年高三数学文联考试卷含解析

广东省梅州市工度中学2022年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：   ①对任意的，总有   ②   ③若，，都有 成立；   则称函数为理想函数.  下面有三个命题： （1）若函数为理想函数，则； （2）函数是理想函数； （3）若函数是理想函数，假定存在，使得，且，     则； 其中正确的命题个数有（   ）   A. 0个            B.1个           C.2个             D.3个 参考答案： D 略 2. 已知集合，，则等于 （A） （B） （C） （D） 参考答案： C 略 3. 若，，则 (    ) A．，   B．，    C. ，      D. ， 参考答案： D 4. 等边三角形ABC的边长为1， （    ）   A.3                 B.-3              C.              D. 参考答案： D 5. 函数y＝x＋cosx的大致图象是(　　) 参考答案： B 6. 已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（　　） A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0 参考答案： C 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2）， ∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为， ∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立； 当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2， 且=， 解得k=﹣， ∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0． 故选：C． 7. 某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为(    ) A．       B．          C．     D． 参考答案： B 8. 已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞） 参考答案： C 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值即可求得k的取值范围． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（8，10）， 化目标函数z=kx+y为y=﹣kx+z， ∵目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值， ∴﹣k＞2，则k＜﹣2． ∴k的取值范围为（﹣∞，﹣2）． 故选：C． 9. 函数的部分如图所示,点A、B是最高点,点C是最低点,若是直角三角形,则的值为(      ) A．    B．     C．      D．   参考答案： A 略 10. 在展开式中,二项式系数的最大值为,含项的系数为,则= A. B. C. D. 参考答案： B 本题考查二项式定理.展开式中,二项式系数的最大值为,即;其展开式的通项公式,令,即,可得的系数.所以==.选B. 【备注】二项展开式的通项公式：. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于三次函数（），定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．” 请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为          ； 计算=                  . 参考答案： ; 2012 12. 已知，则________. 参考答案： 由条件得，从而 13. 已知1，x，9成等比数列，则实数x＝＿＿＿＿＿＿。 参考答案： ?3； 14. 曲线的切线被坐标轴所截得线段的长的最小值为            。 参考答案： 答案：15. 设=        . 参考答案： 5120 16. 参考答案： 1 略 17. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______． 参考答案： ． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 如图，三棱锥中，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，为中点，求三棱锥的体积. 参考答案： （1）∵平面BCD，平面BCD， ∴. 又∵，， 平面ABD，平面ABD， ∴平面. （2）由平面BCD，得. ∵，∴. ∵M是AD的中点， ∴. 由（1）知，平面ABD， ∴三棱锥C-ABM的高， 因此三棱锥的体积 . 解法二： （1）同解法一. （2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD， 又平面ABD平面BCD=BD， 如图，过点M作交BD于点N. 则平面BCD，且， 又， ∴. ∴三棱锥的体积 19. （本小题满分10分）设函数． (1)若不等式成立，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 参考答案： 20. （12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R． （Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0； （Ⅱ） 对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围． （其中e是自然对数的底数，e=2.71828…） 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的最大值，证明结论即可； （Ⅱ）问题转化为证明，设，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0）， 则，令f'（x）=0，得x=1． 当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减． 故当x=1时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（1）=0， 所以，f（x）≤0，得证．（4分） （II）原题即对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使成立， 只需． 设，则， 令u（t）=t﹣1﹣lnt，则对于t≥e恒成立， 所以u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数， 于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即对于t≥e恒成立， 所以为[e，+∞）上的增函数，则．（8分） 令p（x）=﹣f（x）﹣a，则p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax， 当a≥0时，p（x）=﹣lnx﹣ax为（0，+∞）的减函数，且其值域为R，符合题意． 当a＜0时，，由p'（x）=0得， 由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数； 由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数， 所以， 从而由，解得． 综上所述，a的取值范围是．（12分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 21. 设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）． （1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值； （2）当1＜x＜2时，求证：． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a． （2）令，所以，可得其单调性．g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论． 【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0）， 则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即， 又切线为y=x﹣1，所以， 消a，得，设， 易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1 （2）证明：令，所以， 当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增； 当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减； 所以g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a， 当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0， 即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，① 因为1＜x＜2，所以， 所以，即，② ①+②得：， 故当1＜x＜2时，． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求函数在上的最大值和最小值； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1） 又是函数的极值点   解得， 令解得或（舍） 令解得 令解得 当变化时,的变化如下表: 3 极小值 由此可知，在处取得最大值； 又      所以，在处取得最大值； （2）因为函数在上是增函数 在上恒成立 法一：可知，函数的对称轴为 当，即时，函数在上单调递增， 故只需，解得 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递减 故只需，解得（舍去） 综上所述，实数的取值范围是 法二：在上恒成立 即在上恒成立 设 当且仅当，即时等号成立 所以，若使在上恒成立 只需 综上所述，实数的取值范围是 略