广东省揭阳市陶熏华侨中学高三数学文期末试卷含解析

广东省揭阳市陶熏华侨中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[2.01]=2．若函数f(x)=（x≥1）有且仅有三个零点，则m的取值范围是（　　） A．[，2]  B．[，2) C．[，) D．[，] 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】由f（x）=0得=m，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围． 【解答】解：由f（x）=﹣m=0得： =m， 当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=x，此时1≤g（x）＜2， 当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时1≤g（x）＜， 当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时≤1g（x）＜， 当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=x，此时1≤g（x）＜， 作出函数g（x）的图象， 要使函数（x≥1）有且仅有三个零点， 即函数g（x）=m有且仅有三个零点， 则由图象可知≤m， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大． 　 2. 函数的图象大致是（    ） 参考答案： B 3. 已知全集U=R，集合，则 A. (－∞,2) B. (－∞, －2]∪[2,+∞) C. (－∞, －2)∪(2,+∞) D.[－2,2] 参考答案： C 4. 如图所示，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形及每个正方形内一段半径为1，圆心角为的圆弧，则该几何体的体积是（   ） A.     B.     C.     D. 参考答案： C     1 点睛:三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 5. 在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为 　A、1　　B、　　C、2　　D、1 参考答案： A 6. 若函数在区间上的图像如图所示,则的值     可能是      A.                 B．              C．        D． 参考答案： B 略 7. 下列命题中正确的是(  ) A．若,则 B．若为真命题,则也为真命题 C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 D．命题“若,则”的否命题为真命题 参考答案： D 8. 若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（  ） A．2个           B．3个           C．4个          D．多于4个 参考答案： C 9. 在复平面内，复数对应的点在(      ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 略 10. 设等差数列的前行项和为，若，则（ ▲ ） A．             B．            C．             D． 参考答案： 【知识点】等差数列的性质以及前n项和   D2 A因为，所以可得，，而.故选择A. 【思路点拨】根据等差数列的前n项和性质可得，即可求得公差，进而求得结果. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，?=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，当Sn最大时，n=         ． 参考答案： 8或9 考点：数列的求和；平面向量的基本定理及其意义． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析：由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出?的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可． 解答： 解：∵=， ∴向量为首项为，公差为的等差数列， 则=+（n﹣1）， 则?=?=2+（n﹣1）?=4（n﹣1）=， 由?=≥0， 解得n≤9， 即当n=9时，?=0， 则当n=8或9时，Sn最大， 故答案为：8或9． 点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题 12. 在展开式中含的项的系数为            .（结果用数值表示） 参考答案： 略 13. 已知向量是单位向量，若?=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的最小值是            ． 参考答案： 考点：平面向量数量积的运算；向量的模． 专题：平面向量及应用． 分析：由题意，建立坐标系，设=（1，0），则=（0，1），设=（x，y），由|﹣|+|﹣2|=，得到，xy满足的方程，然后求|+2|的最小值． 解答： 解：由题意，建立如图坐标系， 设=（1，0），则=（0，1），设=（x，y），由|﹣|+|﹣2|=，得到的终点在线段AB：y=2﹣2x（0≤x≤1）上， 所以+2=（x+2，y），|+2|2=（x+2）2+y2=5x2﹣4x+8=5（x﹣）2+， 所以当x=时|+2|的最小值为； 故答案为：． 点评：本题考查了向量的坐标运算，关键是将所求转化为二次函数求最值． 14. 函数的最小正周期T=__________。 参考答案： π 15. 设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为　　． 参考答案： y=x 【考点】抛物线的简单性质；直线的一般式方程． 【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程． 【解答】解：抛物线的方程为y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有x1≠x2，两式相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2）， ∴ ∴直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即y=x 故答案为：y=x 16. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是　     　． 参考答案： 30 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的A，N的值，即可得解输出一列数中的第3个数． 【解答】解：模拟执行程序，可得 A=3，N=1，输出3，N=2， 满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3， 满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4， 满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5， 不满足条件N≤4，结束． 则这列数中的第3个数是30． 故答案为：30． 17. 若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是________． 参考答案： k<－4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)若函数在上有极值，求a的取值范围． 参考答案： 函数的定义域为，．            ……………………1分 （Ⅰ）因为，，                                  ……………………3分 所以曲线在点处的切线方程为， 即．             ……………………5分 （Ⅱ）． （ⅰ）当时，对于任意，都有，…………………6分 所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意．………………8分 （ⅱ）当时，令，则．         ……………………9分 所以在上单调递增，即在上单调递增，     …………………10分 所以函数在上有极值，等价于    ……………………12分 所以 所以． 所以的取值范围是．                ……………………13分 19. 已知函数，（，）． （1）当时，求函数的极小值点； （2）当时，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）当时，，则． 当时，，所以在上单调递增，故无极值点； 当时，由，得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 所以的极小值点为． （2）当时，可化为，即， 令，则． 当时，对于一切，有，， 所以恒成立． 下面考虑时的情况． 当时，对于一切，有，，所以恒成立， 所以在上是增函数，所以，符合题意； 当时，，，由零点存在性定理可知，一定存在，使得，且当时，，所以在上单调递减，从而有：时，，不符合题意． 综上可知，的取值范围是． 20. 袋中有黑球和白球共6个，从中任意取2个球，都是白球的概率为0.4. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一个球，甲先取乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.    （1）求袋中原有白球的个数；   （2）求随机变量ξ的概率分布及期望，并求甲取到白球的概率. 参考答案： 解析:（1）设袋中原有n个白球，由题意知：即有4个白球. （2）由题意知，ξ的可能取值为1，2，3， 故P（ξ=1）= 所以取球次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P（ξ） 所以   …………10分 记“甲取到白球”为事件A， 则P（A）=P（ξ=1或ξ=3）=P（ξ=1）+P（ξ=3）=  …………12分 21. 已知函数，其中． （1）若，求证：时， ； （2）试讨论函数的零点个数． 参考答案： （1）当时，令（） 则............................................（1分） 当时，，，，此时函数递增....（2分） 当时，，当时，………①....（3分） (2)………② 令，得，......................（4分） （i）当时，，由②得……③ 当时，，，，此时，函数为增函数， 时，，，时，， 故函数，在上有且只有一个零点；...............（5分） （ii）当时，，且， 由②知，当，，，， 此时，；同理可得，当，；当时，； 函数的增区间为和，减区间为 故当时，，当时， 函数，有且只有一个零点............（7分) 又，构造函数，，则 ……④，易知，对，，函数， 为减函数， 由，知，……⑤...(8分) 构造函数（），则，当时，，当 时，，函数的增区间为，减区间为，， 有，则， ，当时，……⑥ 而……⑦....................（9分） 由⑥⑦知……⑧ 又函数在上递增， 由⑤⑧和函数零点定理知，，使得.............（10分） 综上，当时，函数有两个零点， 综上所述：当时，函数有两个零点， 当时，函数有且仅有一个零点．.........................（12分） 22. △ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=． （Ⅰ）求?； （Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值． 参考答案： 【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系． 【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的