山西省临汾市三联中学高三数学文联考试卷含解析

山西省临汾市三联中学高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在区间[0,1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为 A、   B、   C、   D、 参考答案： D 略 2. 设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 参考答案： B 试题分析：为实数，则，选B. 考点：复数的运算. 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　） A．3π B．12π C．2π D．7π 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】三视图可知该几何体为一个四棱锥，从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可将该四棱锥补成正方体，再去求解． 【解答】解：由三视图知该几何体为有一侧棱垂直底面的四棱锥，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径， 所以2r=，所以r=． 所以该几何体外接球的表面积为=3π 故选A． 　 4. 若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是 (     ） A．     B．      C．         D．或 参考答案： A 5. 如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于                  （    ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 6. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则实数的最大值为                   （    ）     A．           B．           C．             D． 参考答案： D 略 7. 设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos 2x＋bsin 2x}，给出M到N的映射 f：(a，b)→f(x)＝acos 2x＋bsin 2x，则点的象f(x)的最小正周期为 A．π              B．2π             C.               D. 参考答案： A 略 8. 集合，中的角所表示的范围（阴影部分）是 参考答案： C 9. 已知复数，（i为虚数单位），若为纯虚数，则a=（　　） A. －2 B. 2 C. D. 参考答案： C 【分析】 把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵为纯虚数， ∴，解得． 故选：C． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题． 10. 已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为(  ) A． B．               C.               D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点P（x，y）的坐标满足条件，则点P到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________. 参考答案： 3 由图可知：P（2，2）到直线4x+3y+1=0的距离的最大，由点到直线的距离公式可计算出，应填3。 12. 已知，则的最小值是         . 参考答案： 4 由，得，即，所以，由，当且仅当，即，取等号，所以最小值为4. 13. ．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为                    ． 参考答案： 设为平面内的任一点，由得，即． 14. 已知函数，x∈[0，π]．那么下列命题中所有真命题的序号是　  　． ①f（x）的最大值是 ②f（x）的最小值是 ③f（x）在上是减函数        ④f（x）在上是减函数． 参考答案： ①④． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】先求导，再研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题 【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x，x∈[0，π]， ∴f′（x）=cosx﹣， 令f′（x）=0，解得x=， 当f′（x）＞0时，解得0≤x≤，函数单调递增， 当f′（x）＜0时，解得≤x≤π，函数单调递减， ∴当x=时，函数取的最大值，即f（x）的最大值是 ∵f（0）=sin0﹣0=0，f（π）=sinπ﹣π=﹣π， ∴函数的最小值为f（π）=﹣π， 故所有真命题的序号是①④， 故答案为；①④． 15. 已知函数的图象与函数g(x)的图象关于直线对称，令则关于函数h(x)有下列命题:        ①h(x)的图象关于原点对称；                   ②h(x)为偶函数；高.考.资.源.网        ③h(x)的最小值为0；                              ④h(x)在(0，1)上为减函数.高.考.资.源.网 其中正确命题的序号为         （注：将所有正确命题的序号都填上） 参考答案： ②③ 16. 如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是　   　． 参考答案： 21 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；二项式定理． 【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数． 【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n ∴2n=128解得n=7 ∴展开式的通项为Tr+1= 令7﹣=﹣3，解得r=6 ∴展开式中的系数为3C76=21 故答案为：21． 【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 17. 以椭圆的右焦点为圆心作一个圆过椭圆的中心O并交椭圆于M、N，若过椭圆左焦点的直线是圆的切线，则椭圆的右准线与圆的位置关系是_______________. 参考答案： 相交 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为，且．    （Ⅰ）求的值；    （Ⅱ）若，求的面积． 参考答案： （1）因为 所以 由已知得. 所以 ……………………………………………………6分    （2）由（1）知     所以且. 由正弦定理得. 又因为，所以. 所以   ………………………………12分 19. （12分）据某地气象部分统计，该地区每年最低气温在—2℃以下的概率为，设ξ为该地区从2005年到2010年最低气温在—2℃以下的年数。    （I）求ξ的期望和方差；    （II）求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在—2℃以下的概率；    （III）求ξ=3，且在2007年首次遇到最低气温在—2℃以下的概率。 参考答案： 解析：（I）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在—2℃以下的概率为，且每次实验结果是相互独立的，故       …………2分     所以                  …………4分    （II）该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在—2℃以下的事件A的对立事件为：6年都不遇到最低气温在—2℃以下， 所以                …………8分    （III）设，且在2007年首次遇到最低气温在—2℃以下的事件B， 则                …………12分 20. 坐标系与参数方程： 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，得 所以曲线C的直角坐标方程为.……………………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入，得. 设、两点对应的参数分别为、，则，，     ∴， 当时，的最小值为4. ……………………10分   略 21. 如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，BC=1，，，E为CD的中点. （1）求证：BC∥平面SAE； （2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值. 参考答案： （1）证明：因为，，， 所以，， 在△ACD中，，，， 由余弦定理可得： 解得：CD=4 所以，所以△ACD是直角三角形， 又E为CD的中点，所以 又，所以△ACE为等边三角形， 所以，所以， 又AE平面SAE，平面SAE， 所以BC∥平面SAE. （2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，. 所以，，. 设为平面SBC的法向量，则，即 设，则，，即平面SBC的一个法向量为， 所以 所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为. 22. （本小题满分13分） 如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围． 参考答案： 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．H8  H9  【答案解析】（Ⅰ）x2－＝1（x＞1）．（Ⅱ）(1，7)． 解析：（Ⅰ）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．…………………1分 当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．…………………2分 当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有 ∵m＜2，∴1＜m＜2．                       …………………10分 设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有 故的取值范围是(1，7)．……………………………………………………14分 【思路点拨】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0（x＞1）联立，消元可得x2-4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内,可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用＝，即可确定的取值范围．