广西壮族自治区柳州市服装专业职业中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

广西壮族自治区柳州市服装专业职业中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的大致图象为（   ）                 A．                B．                 C．                  D． 参考答案： A 2. 设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为(     ) A.          B. 或        C.              D. 或 参考答案： D 3. 已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣2），代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案． 【解答】解：由双曲线， 可得a2=1，b2=3，故c==2， ∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=±x， 不妨设BF的方程为y=（x﹣2）， 代入方程y=﹣x，解得：B（1，﹣）． ∴S△AFB=|AF|?|yB|=?1?=． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算． 4. 已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是   A．    B．    C．   D． 参考答案： A 5. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上.⊥轴，点在轴正半轴上.如果△的角所对边分别为，其它的面积满足，则椭圆的离心率为   A.                     B.                  C.                D. 参考答案： B 6. 已知点P是锐角△ABC所在平面内的动点，且满足，给出下列四个命题： ①点P的轨迹是一条直线； ②恒成立； ③； ④存在点P使得． 则其中真命题的序号为（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】①由，得⊥，点P的轨迹是CB边的高线所在的直线； ②由?=?，得||cos＜，＞=||cos＜，＞，不一定成立； 由cos＜，＞≤1，||cos＜，＞=||cos＜，＞，得； ④⊥时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，得|+|=||正确． 【解答】解：对于①，由，得?（﹣）=0， ∴?=0，∴⊥， ∴点P的轨迹是CB边的高线所在的直线，①正确； 对于②，由?=?， 得||×||cos＜，＞=||×||cos＜，＞， 即||cos＜，＞=||cos＜，＞， ∴不一定成立，②错误； 对于③，由cos＜，＞≤1，||cos＜，＞=||cos＜，＞， 得，③正确； 对于④，当⊥时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形， 因此存在点P使|+|=||，④正确． 综上，其中真命题的序号为①③④． 故选：D． 7. “”是“”的（    ） A．必要不充分条件        B．充分不必要条件         C．充要条件        D．即不充分也不必要条件 1．若，则的值为（    ） A．          B．         C．3          D． 参考答案： B 8. 已知在三棱锥P-ABC中，，，，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（  ） A. B. C. 2π D. 3π 参考答案： D 【分析】 求出到平面的距离为，为截面圆的直径, ，由勾股定理可得： 求出，即可求出球的表面积。 【详解】根据题意, 为截面圆的直径, 设球心到平面 距离为,球的半径为。 平面平面， 到平面的距离为 由勾股定理可得 球的表面积为 故选D。 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，考查数学转化思想方法，正确的找到外接球的半径是关键。 9. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆圆心的抛物线方程是(   ) A．或        B．   C．或        D．或 参考答案： D 略 10. 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为－1，有以下命题：                                       （1）f(x)的解析式为：f(x)=x3－4x，x∈[-2，2]    （2）f(x)的极值点有且仅有一个    （3）f(x)的最大值与最小值之和等于零 其中假命题个数为（   ） A．0个                           B．1个                         C．2个                             D．3个 参考答案： 答案：B  二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  ①若a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”成立的充分不必要条件； ②当x∈(0，)时，函数y＝sin x＋  的最小值为2； ③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x＜2”； ④函数f(x)＝ln x＋x－在区间(1,2)上有且仅有一个零点． 参考答案： ③④ 12. 若函数f（x）=（2x+2﹣x）ln（x+）为奇函数，则a=　　． 参考答案： 1 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】根据定义域含原点的奇函数的图象过原点，求得a的值． 【解答】解：∵函数f（x）=（2x+2﹣x）ln（x+） 为奇函数，且y=2x+2﹣x为偶函数， ∴y=ln（x+） 为奇函数，再根据它的图象过原点，可得0=ln，∴a=1， 故答案为：1． 13. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______. 参考答案： 324 分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C32A33C41＋C32A33C41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C31＋C32C31A33C31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)． 14. 设等差数列的前n项和为,若,则数列的通项公式           . 参考答案： 15. 已知函数的图像在上单调递增，则        . 参考答案： 0或2 16. 若____________． 参考答案： 3 略 17. 已知函数有3个零点分别为，则的取值范围是__________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=n?（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．利用等比数列的通项公式即可得出． （II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．a1﹣1=1． ∴数列{an﹣1}是等比数列， ∴an﹣1=2n﹣1，解得an=1+2n﹣1． （II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1， ∴数列{bn}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n?2n﹣1， ∴2Sn=2+2×22+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n， ∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n=﹣n?2n=（1﹣n）?2n﹣1， 可得Sn=（n﹣1）?2n+1． 　 19. （本题12分）已知函数，其中， 相邻两对称轴间的距离不小于    （Ⅰ）求的取值范围；    （Ⅱ）在   的面积. 参考答案： （Ⅰ） 由题意可知 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知的最大值为1， ，而 由余弦定理知             联立解得        20. （本题满分12分） 已知函数 （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）求函数单调递增区间 参考答案： （Ⅰ）--------1分 ----------2分 ----4分 ------------------6分 函数的最小正周期为 ，-------------------7分 函数的最大值为-------------8分 （II）由 ------------------10分 得 ------------------------11分 函数的 单调递增区间为------------12分 21. （本小题满分12分） 交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T. 其范围为[0，10],分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (I)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？ (II)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望. 参考答案： 【知识点】直方图；离散形随机变量的分布列及期望.K6,K8 【答案解析】解析：(I)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是个，中度拥堵的路段个数是 (II)X的可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为 【思路点拨】由直方图可找出各种情况数据，再根据条件求出分布列与期望. 22. 在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值． 参考答案： 考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a； （II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2． ∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆； 由l：ρcos（θ﹣）=，展开为， ∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0． 由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1． （Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+， 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+） =3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+）， 当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2． 点评： 本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三