广东省潮州市虹桥职业中学高三数学理月考试题含解析

广东省潮州市虹桥职业中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　） A．29 B．31 C．33 D．36 参考答案： B 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】利用a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论． 【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2?a3=2a1=a1q?=a1?a4， ∴a4=2． ∵a4与2a7的等差中项为， ∴a4 +2a7 =， 故有a7 =． ∴q3==， ∴q=， ∴a1==16． ∴S5==31． 故选：B． 2. 执行如图的算法程序框图，输出的结果是（　　） A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1 参考答案： A 【考点】EF：程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2； 当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3； 当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4； 当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5； 当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6； 当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7； 当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8； 当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9 当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10； 当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11； 当k=11时，不满足行循环的条件， 故输出的s值为211﹣2， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 3. 下列四个命题，其中正确命题的个数(     ) ①若a＞|b|，则a2＞b2 ②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d  ③若a＞b，c＞d，则ac＞bd  ④若a＞b＞o，则＞． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用． 【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误． 【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确； ②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；  ③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；  ④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误． ∴正确命题的个数只有1个． 故选：C． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题． 4. 已知数列为等比数列，是它的前项和。若，且与的等差中项为则（    ） A．35　　　　Ｂ．33　　　   Ｃ．31　   　Ｄ．29 参考答案： C 5. 则                (    ) A． <<      B．  <<      C．      D． <<  参考答案： C 6. （5分）设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】： 双曲线的简单性质． 【专题】： 计算题． 【分析】： 先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率 解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|， ∴|PF1|=3a，|PF2|=a， ∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c， ∴F1F2是圆的直径， ∴∠F1PF2=90° 在直角三角形F1PF2中 由（3a）2+a2=（2c）2，得 故选 D 【点评】： 本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法 7. 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＜b＜c，且a+b+c=0，求证：b2﹣ac＜3c2，则证明的依据应是（　　） A．c﹣b＞0 B．c﹣a＞0 C．（c﹣b）（c﹣a）＞0 D．（c﹣b）（c﹣a）＜0 参考答案： C 【考点】R8：综合法与分析法(选修）． 【分析】把b=﹣a﹣c代入不等式，利用因式分解得出使不等式成立的条件即可． 【解答】解：∵a+b+c=0，∴b=﹣a﹣c． 要证：b2﹣ac＜3c2， 只需证：（﹣a﹣c）2﹣ac＜3c2， 即证：a2+ac﹣2c2＜0， 即证：a2﹣c2+ac﹣c2＜0， 即证：（a+c）（a﹣c）+c（a﹣c）＜0， 即证：（a﹣c）（a+c+c）＜0， 即证：（c﹣a）（c﹣b）＞0． 故选C． 【点评】本题考查了分析法证明，属于中档题． 8. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合?U（A∩B）=（　　） A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 参考答案： D 考点： 交、并、补集的混合运算．  分析： 根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解． 解答： 解：A={1，3}，B={3，4，5}?A∩B={3}； 所以CU（A∩B）={1，2，4，5}， 故选D 点评： 本题考查集合的基本运算，较简单． 9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=(     ) A．18 B．36 C．54 D．72 参考答案： D 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得． 【解答】解：由题意可得a4+a5=18， 由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18， ∴S8===72 故选：D 【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 10. i为虚数单位，  （A）0            （B）2i         （C）-2i           （D）4i 参考答案： A 本题主要考查了复数代数形式的四则运算，难度较小。，故选A。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （13）若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_______。 参考答案： 等式平方得： 则，即 得 12. 已知点P(x0, y0) 在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：． 根据以上性质，解决以下问题： 已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是   ▲   ． 参考答案： 13. 某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取—个容量为的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则等于         · 参考答案： 192 14. 已知点P到△ABC的三个顶点的距离相等，且，则·等于               。 参考答案： 略 15. 已知函数,设a∈R,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是___________. 参考答案： 16. 设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标 是___________． 参考答案： （3,1） 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数. 【试题分析】因为函数经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）. 17. 已知，则的值等于               . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 （为参数）， 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为=2. （Ⅰ）分别写出 的普通方程， 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知M，N分别为曲线 的上、下顶点，点P为曲线 上任意一点，求 的最大值． 参考答案： （Ⅰ），（Ⅱ） 试题分析：（Ⅰ）由将参数方程化为普通方程，由将=2化为普通方程；（Ⅱ）由点到直线的距离公式求出的表达式，再由二次函数求最值. 试题解析：（1）曲线的普通方程为，……………………2分         曲线的普通方程为.  ……………………4分    （2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知. 因此                ……………………6分 . 所以当时，有最大值28，……………………8分 因此的最大值为.   ……………………10分 法二：设点坐标为，则，由题意可知. 因此                ……………………6分 . 所以当时，有最大值28，……………………8分 因此的最大值为.   ……………………10分 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式；3.二次函数求最值. 19. 已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点； （1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值； （2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围； （3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足kOM?kON=kOA?kOB，试探究△OMN的面积是否为定值，说明理由． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可； （2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出?，配方后求出?的最大值与最小值，即可确定出?的范围； （3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值． 解答： 解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点， ∴=m+n=（ma﹣na，m+n）， 即P（ma﹣na，m+n）， 把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=； （2）设Q（x，y）， 则?=（3a﹣x，﹣y）?（﹣a﹣x，﹣y） =（x﹣3a）（x+a）+y2 =（x﹣3a）（x+a）+1﹣ =x2﹣2ax+1﹣3a2 =（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a）， 由a＞1，得＞a， ∴当x=﹣a时，?的最大值为0； 当x=a时，?的最小值为﹣4a2， 则?的范围为[﹣4a2，0]； （3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足kOM?kON=kOA?kOB， 由条件得：=﹣， 平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即