第10讲 最值问题之三角形三边关系
模型讲解
问题：在直线l上找一点P，使得的值最大
解析：连接AB，并延长与1交点即为点P.
证明：如图，根据△ABP三边关系，BP-AP< AB，即PB - PA< PB - PA
【例题讲解】
例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
____________.
【解答】
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∠MON=90°，AB=2 OE=AE=AB=1，
BC=1，四边形ABCD是矩形， AD=BC=1， DE=，
根据三角形的三边关系，OD
OP OP=0Q+QP，且OQ=0Q 0Q+QP>0Q+QP QP>QP
所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.
【另外三种情况】
点P在圆外，PQ最长 点P在圆内，PQ最长 点P在圆内，PQ最短
【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。
【例题讲解】
例题1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBF，连接BD，则BD的最小值是___________.
【解析】
如图，根据已知条件，在△EBD中，我们发现，EB为定值2，ED根据勾股定理计算可得也为定值，而BD即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△EB'D就是我们要找的三角形，
BD≤ED-EB 当B在ED上时，BD最小
BD的最小值为-2
【巩固练习】
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值_______________.
3、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是_____________.
4、如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△BCP，连接BA，则BA长度的最小值是________________.
6、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN，连接AC，则AC长度的最小值是____________.
7、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是____________.
8、如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______________.
9、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作，将一块直角三角板的直角顶点P放置在（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为____________.
10、问题情境：如图1，P是⊙0外的一点，直线PO分别交⊙0于点A、B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离.
（1）探究：
如图2，在⊙0上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC.试证明：PA
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