广东省梅州市育才中学高二数学理联考试题含解析

广东省梅州市育才中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设a>0,b>0,是与的等差中项，则的最小值为 A．      B．3       C．4        D．9 参考答案： D 2. 参考答案： A 略 3. i是虚数单位，若，则乘积的值是（   ）  A. －15 B. －3  C.  3  D.  15 参考答案： C 略 4. 设a＞0，b＞0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为(     ) A． B． C．4 D． 参考答案： B 考点：等比数列的通项公式；基本不等式． 专题：转化思想；等差数列与等比数列；不等式． 分析：利用等比数列的性质可得a+b=5．再利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：∵a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项， ∴=35， 化为a+b=5． 则===，当且仅当a=b=时取等号． 故选：B． 点评：本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 各项均为正数的等比数列{an}中，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5等于（　　） A．16 B．27 C．36 D．﹣27 参考答案： B 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，得a1+a2=1，a3+a4=9，由等比数列的性质可得，a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列，由此能求出a4+a5． 【解答】解：由a2=1﹣a1，a4=9﹣a3， 得a1+a2=1，a3+a4=9， 由等比数列的性质，得a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列， 又等比数列{an}中各项均为正数， 所以a2+a3===3， ∴a4+a5=27． 故选B． 【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 6. 设函数在上连续可导，对任意，有，当 时，，若，则实数的取值范围为 A．    B．    C．    D． 参考答案： A 7. 若，则n的值为（   ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 参考答案： B 试题分析： 考点：组合数排列数运算 8. 在数列{an}中，a1=3，an+1=an+ln（1+），则an=(     ) A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn 参考答案： A 【考点】数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项． 【解答】解：∵a1=3，an+1=an+ln（1+）=an+ln， ∴a2=a1+ln2，a3=a2+ln， a4=a3+ln， …， an=an﹣1+ln， 累加可得：an=3+ln2+ln+ln+…+ln=3+lnn， 故选：A 【点评】数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项． 9. 已知，分别为圆锥曲线和的离心率，则的值为（         ） A．正数             B．负数            C．零                  D．不确定 参考答案： B 略 10. 设a，b为正实数，则“a＜b”是“a－＜b－”成立的(　　) A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件               D．充要条件 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在（x－a）10的展开式中，x7的系数是15，则实数a=_____ 参考答案： 1/2 12. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，则椭圆C的标准方程为_． 参考答案： 【分析】 设椭圆方程．由离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点，列方程组求出a， b，由此能求出椭圆C的方程． 【详解】∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝4y的焦点． 由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0）， 则有，解得a，b＝c＝1， ∴椭圆C的方程：． 故答案为：． 点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆与抛物线的简单性质的应用，考查运算求解能力，函数与方 程思想，是中档题． 13. 已知，则的取值范围是． 参考答案： 略 14. 已知，用数学归纳法证明时，有______． 参考答案： 【分析】 根据题意可知，假设，代入可得到，当时，，两式相减，化简即可求解出结果。 【详解】由题可知，， ， 所以． 故答案为。 【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明不等式过程中的归纳递推步骤。 15. 若命题，,则命题“非”为                       。 参考答案： 略 16. 已知函数则不等式的解集是_______________。 参考答案： 17. 已知动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为(　　). 参考答案： 3x2﹣y2=12 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设复数，试求取何值时， （1）z是实数； （2）z是纯虚数； （3）z对应的点位于复平面的第一象限. 参考答案： 解：（1）当复数的虚部且时，即或时，复数表示实数； （2）当实部等于零且虚部不为零时，复数表示纯虚数， 由，得：时，复数表示纯虚数； （3）由，复数对应的点位于复平面的第一象限， 解得：或，故当或时，复数对应的点位于复平面的第一象限.   19. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1 （Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项和前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比关系的确定． 【分析】（1）由an+1=2an+1变形为an+1+1=2（an+1），即可证明数列{an+1}是等比数列； （2）由（1）可得：．再利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得出Sn． 【解答】解：（1）由an+1=2an+1变形为an+1+1=2（an+1）， 又a1+1=2， ∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为2． （2）由（1）可得：， ∴． ∴Sn=﹣n=2n+1﹣2﹣n． 20. 已知椭圆E：过点（0，﹣1），且离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由已知得b和，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求； （2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）所在定直线方程． 【解答】解：（1）依题意，b=1，，又a2=b2+c2， ∴3a2=4c2=4（a2﹣b2）=4a2﹣4，即a2=4． ∴椭圆E的方程为：； （2）由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1）， ∴直线AD的方程为y=， 由题意，直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0且k， 由，解得P（）， 设M（x1，y1），则由，消去y整理得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0． ∴，即，． 即M（）， 设Q（x2，0），则由M，D，Q三点共线得：kDM=kDQ，即， ∴，则， ∴PQ的斜率m=． ∴2k+1=4m，即点N（m，k）在定直线4x﹣2y﹣1=0上． 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，（2）的求解着重体现了“舍而不求”和整体运算思想方法，属中高档题． 21. 已知为函数的导函数，且. （1）判断函数的单调性； （2）若，讨论函数零点的个数. 参考答案： （1）对，求导可得 ，所以，于是，所以，所以，于是在上单调递增，注意到，       （3分） 故时， 单调递减， 时， 单调递增.                                                      （4分） （2）由（1）可知， 由，得或， 若，则，即， 设 所以在上单调递增，在上单调递减， 分析知时， 时， ,时，， （8分） 现考虑特殊情况： 若直线与相切， 设切点为，则 ，整理得， 设，显然在单调递增， 而，故，此时. 结合图形不难得到如下的结论： 当时， 有一个零点； 当或时， 有两个零点， 当时， 有三个零点.     （12分） 注：可用分离参数方法 22. 为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如表所示： 年龄 关注度非常高的人数 [15,25) 15 [25,35) 5 [35,45) 15 [45,55) 23 [55,65) 17   （1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的中位数和平均数； （2）根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？ （3）按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少.   45岁以下 45岁以上 总计 非常高       一般       总计         参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828     参考答案： （1）中位数为45（岁），平均数为42（岁）；（2）不能.（3）. 【分析】 （1）根据频率分布直方图中位数两侧频率之和均为0.5可得出中位数，将频率分布直方图中每个矩形底边中点值乘以矩形的面积，再将各乘积相加可得出平均数； （2）根据题中信息完善列联表，并计算出的观测值，并与进行大小比较，利用临界值表可对题中结论的正误进行判断； （3）利用利用分层抽样的特点计算出所选的6人中年龄在25岁以下和年龄在25岁到35岁间的人数，并对这些人进行编号，列出所有的基本事件，并确定基本事件的总数，然后确定事件“从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，45两侧的频率之和均为0.5， 所以估计这100人年龄的中位数为45（