河南省周口市项城正泰博文学校2022-2023学年高二数学文联考试卷含解析

河南省周口市项城正泰博文学校2022-2023学年高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围是（   ） (A)               （B）                 (C)                (D) 参考答案： B 试题分析：因为圆的圆心坐标为,且,即所以由题设可得,即,故,故应选B. 考点：圆的一般方程和标准方程的互化. 2. 用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（    ） A．             B．             C．            D．  参考答案： D 3. 等差数列的前n项和记为，若的值为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（   ） A．        B．       C．       D． 参考答案： A 略 4. 设动直线与函数，的图像分别交于M，N，则的最小值为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 分析：将两个函数作差，得到函数，再求此函数的最小值，即可得到结论. 详解：设函数， ， 令，函数在上为单调减函数； 令，函数在上为单调增函数， 时，函数取得最小值. 故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值：. 故选：A. 点睛：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值. 5. 已知点是椭圆的两个焦点，点P是该椭圆上一个动点，那么的最小值为 A．0                    B．1                  C．2                   D． 参考答案： C 6. 已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为  （     ） A.        B.        C.       D. 参考答案： A 7. 若直线y=x+b与曲线有两个交点，则实数b的取值范围是（　　） A．（2，2） B．[2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2） 参考答案： B 考点：直线与圆的位置关系． 专题：计算题；直线与圆． 分析：曲线y=表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b的取值范围． 解答：解：曲线y=表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分， 如图所示，当直线与半圆相切时，b=2， ∴直线y=x+b与曲线y=有两个交点，实数b的取值范围是[2，2）． 故选：B． 点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 　 8. 设函数 ，若 是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围是（  ） A．          B．(－∞,1)        C.  [1,+∞)       D． 参考答案： A ， 因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负. 当时，，此时， 当时，， 当时， 故在处取极大值. 当时，应为的较小的正根，故，故； 当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点. 综上，的取值范围为，故选A.   9. 已知集合，，则的元素个数是   (A)0个             (B)1个             (C)2个               (D)3个 参考答案： C 10. 已知点P1（3，﹣5），P2（﹣1，﹣2），在直线P1P2上有一点P，且|P1P|=15，则P点坐标为（　　） A．（﹣9，﹣4） B．（﹣14，15） C．（﹣9，4）或（15，﹣14） D．（﹣9，4）或（﹣14，15） 参考答案： C 【分析】由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点（﹣9，4），故只需验证另外一点P是否适合|P1P|=15即可． 【解答】解：由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点（﹣9，4）， 只需验证另外一点P是否适合|P1P|=15．若P的坐标为（15，﹣14），则求得|P1P|=15， 故选C． 【点评】本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义，两点间的距离公式，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若等比数列{an}满足则             . 参考答案： . ，. 12. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为    ▲    ． 参考答案： 略 13. 已知集合A={1，a}，B={1，3}，若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为　 　． 参考答案： 2 利用并集的性质求解． 解：∵集合A={1，a}，B={1，3}，若A∪B={1，2，3}， ∴a=2． 故答案为：2． 14. 某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为          参考答案： 15. 设P是边长为2的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为、、，则；类比到空间，设P是棱长为2的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和______. 参考答案： 【分析】 根据平面正三角形利用等面积法可得，因此空间正四面体利用等体积法即可。 【详解】间正四面体如下图 由题意可得边长为2，设每个面的面积为 即 【点睛】把平面知识类比到空间知识，是高考的常考思想，本题属于中档题。 16. 已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对?x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率． 【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比， ∵﹣2≤k≤1，其区间长度是3 又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调 ∴ ∴﹣1≤k≤1，其区间长度为2 ∴P= 故答案为：． 17. 命题“存在 , ”的否定是______ 参考答案： 任意 ,      略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）求直线l被曲线C所截得的弦长． 参考答案： 【考点】QJ：直线的参数方程；J8：直线与圆相交的性质；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，再根据直角坐标与极坐标的互化公式求得C的直角坐标方程． （2）将直线参数方程代入圆C的方程，利用根与系数的关系和弦长公式求得直线l被曲线C所截得的弦长． 【解答】解：（1）由得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ， ∴x2+y2﹣x﹣y=0，即． （2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t2﹣21t+20=0， ∴． ∴． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程； (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 参考答案： (1)由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0. 由题可知圆心C1到直线l的距离d＝＝1， 结合点到直线的距离公式，得＝1， 化简得24k2＋7k＝0，k＝0，或k＝－. 求得直线l的方程为：y＝0或y＝－(x－4)， 即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)由题知直线l1的斜率存在，且不为0，设点P的坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为 y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即直线l1：kx－y＋n－km＝0，直线l2：－x－y＋n＋＝0. 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，知圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等． 故有＝， 化简得(2－m－n)k＝m－n－3，或(m－n＋8)k＝m＋n－5. 因为关于k的方程有无穷多解，所以有或 解之得点P的坐标为或.   20. （12分）解关于x的不等式 参考答案： 原不等式.……………………3分 分情况讨论 （i）当时，不等式的解集为；………………….6分 （ii）当时，不等式的解集为……………….9分 （iii）当时，不等式的解集为；………………….12分 21. 在△中，、、分别是角、、的对边，且。 (Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)若，，求△的面积。 参考答案： 解：（1）          ∴由正弦定理：           ∴          又∵          ∴                   ∴ （2）∵          ∴          ∴            ∴ 略 22. 某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心． （1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）； （2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）． （2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f （θ）取最大值． 【解答】（本题满分16分） 解：（1）作AH⊥CF于H， 则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，… 则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ =2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．                           … （2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ] =2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．            … 令 f′（θ）=0，因为θ∈（0，）， 所以cosθ=，即θ=，… 当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增； 当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，… 所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．    … 答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…