2022-2023学年黑龙江省伊春市樟树临江实验学校高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年黑龙江省伊春市樟树临江实验学校高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（      ） A.     B.      C.      D. 参考答案： C 略 2. 由半椭圆（≥0）与半椭圆（≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆（）的焦点和左椭圆（）的焦点，确定的叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆（）的离心率的取值范围为（      ） A．   B．       C．         D． 参考答案： C 3. 命题;  命题双曲线的离心率为.则下面结论正确的是（　　） A．是假命题 B．是真命题 C． 是假命题D．是真命题                                                                                                  参考答案： D 略 4. 学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：   不关注 关注 总计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 总计 75 25 100 根据表中数据，通过计算统计量K2=，并参考一下临界数据： P（K2＞k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 　　k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 若由此认为“学生对2018年俄罗斯年世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（　　） A．0.10 B．0.05 C．0.025 D．0.01 参考答案： A 【考点】BO：独立性检验的应用． 【分析】根据表中数据计算统计量K2，参考临界数据，即可得出结论． 【解答】解：根据表中数据，计算统计量 K2==≈3.03＞2.706， 参考临界数据知，认为“学生对2018年俄罗斯年世界杯的关注与性别有关”， 此结论出错的概率不超过0.10． 故选：A． 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题． 5. 设，方程的解集是     （    ）   A．            B．              C．          D． 参考答案： B 略 6. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　 　) 参考答案： B 7. 设等差数列的前n项和为，是方程的两个根，则= A．     B．5          C．      D．﹣5 参考答案： A 8. 设, 则 “”是“”的 （　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件   参考答案： A 若，则，即。若时，所以是的充分而不必要条件，选A.略 9. 设离散型随机变量X的概率分布列如下表： 则p等于(　　) 参考答案： D 略 10. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（　　） 　 A． 1＜d1＜d2 B． d1＜d2＜1 C． d1＜1＜d2 D． d2＜d1＜1 参考答案： D 考点： 点、线、面间的距离计算． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： 过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1． 解答： 解：过C做平面PAB的垂线， 垂足为E，连接BE， 则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°， 根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1． 同理，d1＜1． 再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者， 所以d2＜d1． 所以d2＜d1＜1． 故选D． 点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数x，y满足，则的最小值是　  　． 参考答案： 2 【考点】简单线性规划． 【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数z=的几何意义求出z的最小值． 【解答】解：由不等式组表示的平面区域为， 如图所示； 目标函数z=的几何意义是平面区域内的点P（x，y） 与点O（0，0）连线的直线斜率， 由，解得A（1，2）， 此时z=有最小值为2． 故答案为：2． 　 12. 已知数列{an}满足 ，则数列{an}的通项公式an=_______． 参考答案： 【分析】 先对式子进行变形得到可知为等差数列，从而可得通项公式. 【详解】因为，所以 所以是以1为首项和公差的等差数列， 所以，故. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，通过构造等差数列求解数列的通项公式，如何构造等差数列是求解这类问题的关键，一般是根据递推关系式的特点，结合等差数列的定义形式来进行构造，侧重考查转化与化归的数学思想. 13. 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=1：：3，则∠B的大小为　　． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】sinA：sinB：sinC=1：：3，由正弦定理可得：a：b：c=1：：3，不妨取a=1，b=，c=3．再利用余弦定理即可得出． 【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=1：：3， 由正弦定理可得：a：b：c=1：：3， 不妨取a=1，b=，c=3． ∴cosB==， ∵B∈（0，π）， ∴B=． 故答案为：． 14. 在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=　　． 参考答案： 30° 【考点】正弦定理． 【分析】先根据正弦定理利用题设条件求得sinC，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B． 【解答】解：由正弦定理可知= ∴sinC=c?=2×= ∴C=30° ∴∠B=180°﹣120°﹣30°=30° 故答案为：30° 15. 设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于_________________                                  参考答案： 63 16. 若复数z满足，则的最大值为          ． 参考答案： 2 依题意，设复数， 因为，所以有， 由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 因为表示圆周上的点到原点的距离， 所以的最大值为，所以答案为2.   17. 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，=         。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 过双曲线C：(a>0,b>0)的左焦点F1(－2，0)、右焦点F2(2，0)分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射线PF1于M，求点M的轨迹方程. 参考答案： (1)由解得y = ， 由双曲线即其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形 故四边形ABCD的面积为4×= 所以b =，结合c = 2且得： a = 1，b = ， 所以双曲线C的标准方程为； (2)P是双曲线C上一动点，故， 又M点在射线PF1上，且， 故= 所以点M的轨迹是在以F1为圆心，半径为2的圆， 其轨迹方程为：. 略 19. 已知函数f（x）=loga（x+1）+loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），且f（1）=2. （1）求a的值及f（x）的定义域； （2）若不等式f（x）≤c恒成立，求实数c的取值范围． 参考答案： （1）由f（1）=loga2+loga2=2，解得a=2．可得f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x），由，可得函数f（x）的定义域． （2）由（1）可知：f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）=log2（x+1）（3﹣x）=，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出． 解：（1）∵f（1）=loga2+loga2=2，解得a=2． ∴f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）， 由，解得﹣1＜x＜3， 可得函数f（x）的定义域为：（﹣1，3）． （2）由（1）可知：f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）=log2（x+1）（3﹣x）==， 可知：当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=log24=2． 由不等式f（x）≤c恒成立，∴c≥2． ∴实数c的取值范围是[2,+∞). 20. 已知圆过点、,且圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）求直线被圆截得的弦长； （3）为直线上一点，若存在过点的直线交圆于点，且恰为线段的中点，求点的纵坐标的取值范围． 参考答案： （1）设圆心，则有即 所以，即圆心坐标为 圆半径， 则圆的标准方程为.    ……………………………5分 （2）圆心到直线的距离 则截得的弦长为.   ………………………10分 （3）设 若存在过点的直线交圆于点，且恰为线段的中点，则必有 即所以 则点的纵坐标的取值范围为. ……………………………16分 21. （12分）已知锐角△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，tanA＝ (1)求A的大小； (2)求cosB＋cosC的取值范围. 参考答案： (1)由余弦定理知b2＋c2－a2＝2bccosA，Ks5u ∴tanA＝?sinA＝， ∵A∈(0，)，∴A＝. (2)∵△ABC为锐角三角形且B＋C＝， cosB＋cosC＝cosB＋cos(－B)＝cosB＋coscosB＋sinsinB ＝cosB＋sinB＝sin(B＋) Ks5u 即cosB＋cosC的取值范围是(，1］. 22. 过直线x=﹣2上的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （1）若切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； （2）求证：直线AB恒过定点． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）不妨设，B（t1＞0，t2＞0），P（﹣2，m）．由y2=4x，当y＞0时，，，可得．同理k2=．利用斜率计算公式可得k1=，得=0．同理﹣mt2﹣2=0．t1，t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根，即可得出k1k2=为定值． （2）直线AB的方程为y﹣2t1=．化为，由于t1t2=﹣2，可得直线方程． 【解答】证明：（1）不妨设，B（t1＞0，t2＞0），P（﹣2，m）． 由y2=4x，当y＞0时，，， ∴． 同理k2=． 由=，得=0． 同理﹣mt2﹣2=0． ∴t1，t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根， ∴t1t2=﹣2， ∴k1k2==﹣为定值． （2）直线AB的方程为y﹣2t1=． 即+2t1﹣， 即，由于t1t2=﹣2， ∴直线方程化为， ∴直线AB恒过定点（2，0）．