江西省吉安市高陂中学高三数学理测试题含解析

江西省吉安市高陂中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为数列的前项和，，则取最小值时，的值为      (     ) A．12                 B．13                C．24 D．25 参考答案： C 2.  函数的图象可能是下列图象中的（  ）    参考答案： 答案：C 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（    ）   A.（0，       B.（）        C.（0，）       D.（，1） 参考答案： D 略 4. 当x＜0时，函数的最小值是（　　） 　 A． B． 0 C． 2 D． 4 参考答案： D 考点： 函数的最值及其几何意义．  专题： 计算题． 分析： 两次利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号． 解答： 解：∵x＜0则﹣x＞0 ∴﹣x﹣≥2，当x=﹣1时取等号 ≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号 故选D． 点评： 本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题． 5. 下列命题错误的是（     ） A．命题“若，则“的逆否命题为”若“ B．若命题，则 C．若为假命题，则，均为假命题 D．的充分不必要条件 参考答案： C 略 6. 则 (A)       (B)        (C)       (D) 参考答案： D 略 7. 若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=(     ) A．﹣2 B． C．1 D．2 参考答案： C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值． 【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=． 曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=． 曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线， 可得，并且t=，t=alns， 即，解得lns=，解得s2=e． 可得a=1． 故选：C． 【点评】本题考查函数的导数，导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力． 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1为函数的最大值，且满足an－anSn+1=－anSn，则数列{an}的前2018项之积A2018= A．1          B．           C．－1          D．2 参考答案： A 9. 下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是     A．y＝ex  B．y＝tanx  C．y＝x3-x  D． 参考答案： D 10. 已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若?=﹣，则实数t的取值是(     ) A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 参考答案： B 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：运用向量的数量积的定义可得?=，再由向量的平方即为模的平方，解方程即可得到t． 解答： 解：两个单位向量，的夹角为60°， 则有?=1×1×cos60°=， 由=（1﹣t）+t，且?=﹣， 即有（1﹣t）?+t=﹣， 即（1﹣t）+t=﹣， 解得t=﹣2． 故选：B． 点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则__________。 参考答案： 8 12. 已知点P到△ABC的三个顶点的距离相等，且，则·等于               。 参考答案： 略 13. 设，向量，，若，则______________ . 参考答案： 2   略 14. （4分）（2015?上海模拟）方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是　　． 参考答案： {，} 【考点】： 根的存在性及根的个数判断． 【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】： cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解． 解：cos2x+sinx=1可化为 1﹣2sin2x+sinx=1； 即sinx（1﹣2sinx）=0； ∵x∈（0，π）， ∴sinx=； ∴x=或； 故答案为：{，}． 【点评】： 本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题． 15. 如图，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1. 设M是底面ABC内的一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、　　　p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥M—PBC、三棱锥M—PCA的体积．若，且恒成立，则正实数a的最小值为________． 参考答案： 1 16. 定义在（0，）的函数f（x）=8sinx﹣tanx的最大值为　　． 参考答案： 【考点】三角函数的最值． 【分析】利用导函数研究其单调性，求其最大值． 【解答】解：函数f（x）=8sinx﹣tanx， 那么：f′（x）=8cosx﹣=， 令f′（x）=0， 得：cosx= ∵x∈（0，）， ∴x=． 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上是单调增函数． 当x∈（，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，）上是单调减函数． ∴当x=时，函数f（x）取得最大值为 故答案为：． 【点评】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题．属于基础题． 　 17. 已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为　　． 参考答案： 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1）， 当x＜﹣1时，f′（x）＞0， 当﹣1≤x＜0时，f′（x）≤0． ∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）单调递减． ∴函数f（x）=﹣xex在（﹣∞，0）上有一个极大值为 f（﹣1）=，作出函数f（x）的草图如图： 设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解， 当m=时，方程m=f（x）有2个解， 当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解， 当m=0时，方程m=f（x），有1个解， 当m＜0时，方程m=f（x）有0个解， 则方程f2（x）+tf（x）+1=0等价为m2+tm+1=0， 要使关于x的方程f2（x）+tf（x）+1=0恰好有4个不相等的实数根， 等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜， 设g（m）=m2+tm+1， 则，即t＜﹣e﹣， ∴实数t的取值范围为：． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图9-13，P是抛物线C：y=x2上—点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q． (I)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点 M的轨迹方程； (Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T， 试求的取值范围． 参考答案： (1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依题意x1≠0，yl>0，y2>0． 由y=x2，①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意， ∴x1≠0． ∴直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1)．② 方法一：联立①②消去y，得x2+-x21-2=0． 由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③则 方法一： ∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴ 的取值范围是(2，+∞)． 方法二：∴ 当b>0时，=|b|+2>2； 当b<0时, =-b 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b) 2-4b2= 4k2(k2+2b)>0． 于是k2+2b>0，即k2>-2b． 所以 ∵当b>0时，可取一切正数， 的取值范围是(2+∞)． 方法三： 由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP, 即 则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)． 于是b= 可取一切不等于l的正数，的取值范围是(2，+∞)． 19. （本小题满分16分） 设，其中为非零常数， 数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an＋Sn＝． （1）若k＝0，求证：数列{an}是等比数列； （2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列． 参考答案： （1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）． 因为恒成立，所以，即． 而且当时，，   ①               ， ② ①－②得 ． 若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以． 故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．  【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设（b，c为常数）， 当时，，           ③           ，     ④ ③－④得 ．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数）， 而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时． (iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数）， 当时，，           ⑤           ， ⑥ ⑤－⑥得 ， 要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有 ，且d=2a， 考虑到a1=1，所以． 故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为， 此时（a为非零常数）． (iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． 20. 如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，. （1）求证：BC⊥平面AA1C. （2）求三棱锥的体积的最大值. 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）由点在圆周上可得，再证明，即可证明； （2）设，建立三棱锥的体积关于AC长的函数，再利用二次函数即可求相应函数的最大值. 【详解】（1）∵是底面圆周上异于，的任意一点，且是圆柱底面圆的直径，∴. ∵平面，平面，∴. ∵，平面，平面，∴平面. （2）设，在中，， 故， 即. ∵，，∴当，即时，三棱锥的体积最大，最大值为. 【点睛】利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是判断直线与平面内的两条相交直线垂直，求某个量的最值一般建立其关于另一变量（或几个变量）的函数关系，结合函数的单调性即可求得最值. 21. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并