广西壮族自治区桂林市江底中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，7}，则P∩（?UQ）=（ ）
（A）{1,2} （B）{3,4,5}
（C）{1,2,6,7} （D）{1,2,3,4,5}
参考答案：
A
3. 某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A．得分在[40,60)之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5
C. 这100名参赛者得分的中位数为65
D．估计得分的众数为55
参考答案：
C
4. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．－3 B．－2
C．2 D．3
参考答案：
C
∵，
∴，解得，，
∴.
5. 给出以下四个判断，其中正确的判断是( )
A．若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题
B．命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y＜2”
C．若x≠300°，则cosx≠
D．命题“?x0∈R，≤0”是假命题
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑．
【分析】由复合命题的真假判断判断A；写出原命题的逆否命题判断B；举例说明C错误；由指数函数的值域说明D正确．
【解答】解：若“p或q”为真命题，则p，q至少一个为真命题，故A错误；
命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4或y＜2”，故B错误；
若x≠300°，则cosx≠错误，如x=60°≠300°，但cos60°=；
由指数函数的值域可知，命题“?x0∈R，≤0”是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了命题的逆否命题，考查指数式的值域，是基础题．
6.
集合= ( ）
A． B．{1} C．{0,1,2} D．{-1,0,1,2}
参考答案：
C
7. 已知函数，给出下列两个命题：
命题若，则；
命题.
则下列叙述错误的是（ ）
A．是假命题 B．的否命题是：若，则 C. D．是真命题
参考答案：
D
8. 数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
参考答案：
D
9. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
参考答案：
A
【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．
【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．
【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，
所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．
因为a1、a3、a4成等比数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．
所以==2，
故选：A．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．
10. 已知i是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A、－2 B、2 C、－2i D、2i
参考答案：
B
，所以虚部为2。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
若是奇函数，则 ．
参考答案：
解析：解法1
12. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为 ．
参考答案：
13. 在中，，，且的面积为，则边的长为_________.
参考答案：
略
14. 在（1+2x）6（1+y）4展开式中，xy2项的系数为 ．
参考答案：
72
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】把题目中的式子利用二项式定理展开，即可得出xy2项的系数．
【解答】解：∵（1+2x）6（1+y）4=（1+12x+60x2+160x3+…+64x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），
∴xy2项的系数为12×6=72．
故答案为：72．
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．
7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= .
参考答案：
-2
16. 为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.85x﹣0.25．由以上信息，得到下表中c的值为 ．
天数t（天）
3
4
5
6
7
繁殖个数y（千个）
2.5
3
4
4.5
c
参考答案：
6
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于c的方程，解方程即可．
【解答】解：∵ =（3+4+5+6+7）=5， =（2.5+3+4+4.5+c）=
∴这组数据的样本中心点是（5，）
把样本中心点代入回归直线方程=0.85x﹣0.25
∴=0.85×5﹣0.25，
∴c=6
故答案为：6
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．
17. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上， 的平分线交轴于点，则 .
参考答案：
2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）当时，证明函数在R上是增函数；
（Ⅱ）若时， 当时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）当时，，的的定义域为R
……2分
当时，所以，
当时，所以，
所以对任意实数，，所以在R上是增函数； …………4分
（II）当时，恒成立，即恒成立…5分设，则，…………6分
令，解得，
（1）当，即时，
极大值
极小值
所以要使结论成立，则
，，即，
解得，所以； …8分
（2）当，即时，恒成立，所以是增函数，又，
故结论成立； …9分
（3）当，即时，
极大值
极小值
所以要使结论成立，则
，，即，
解得，所以； …11分
综上所述，若，当时，恒成立，实数的取值范围是． …12分
略
19. 已知椭圆C：(a>b>0)的长轴长为，焦距为2，抛物线M：y2＝2px(p>0)的准线经过C的左焦点F。
(1)求C与M的方程；
(2)直线l经过C的上顶点且l与M交于P、Q两点，直线FP、PQ与M分别交于点D(异于点P)，E(异于点Q)，证明：直线DE的斜率为定值。
参考答案：
20. 已知函数f (x)＝ex－ax－1.
(1)求f (x)的单调增区间；
(2)是否存在a，使f (x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
参考答案：
解 f′(x)＝ex－a，
(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
即f(x)在R上递增，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
又∵－2
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