湖南省邵阳市罗白中学高二数学理下学期期末试题含解析

湖南省邵阳市罗白中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图是函数的部分图象，f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为，则f(x)的一个极值点为（    ） A．      B．       C．        D． 参考答案： C 由题意， ，则，，，，∴，即，经检验只有是极小值点. 故选C.   2. 直线x+y+1=0与圆的位置关系是（     ） A．相切    B．相离        C．相交      D．不能确定   参考答案： A 略 3. 设双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过点F与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B，且，则此双曲线的离心率为（   ） A. B. C. 2 D. 参考答案： A 【分析】 根据双曲线的标准方程和题设条件，得到，进而求得，最后利用离心率的公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得左焦点为，右顶点为， 又由过与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，则， 又因为，即，且， 解得， 所以双曲线的离心率为，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 4. 设，则“”是“”的（　　）． A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为： 到站时间   8:10 9:10 8:30 9:30 8:50 9:50 概率 1/6 1/2 1/3 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为(精确到分)    （      ） A        B     C     D 参考答案： D 略 6. 下列命题错误的是 (A)命题“若lgx=0，则x=l”的逆否命题为“若x≠1，则lgx≠0” (B)命题“若x>2，则”的否命题是“若x>2，则” (C)双曲线的渐近线方程为 (D)若为假命题，则p与g中至少有一个为假命题． 参考答案： B 7. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且 |PF|=x0，则x0的值为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 参考答案： C 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】求出焦点坐标坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x0的值即可． 【解答】解：该抛物线C：y2=4x的焦点（1，0）．P（x0，y0）是C上一点，且， 根据抛物线定义可知x0+1=，解得x0=2， 故选：C． 8. 若为的各位数字之和，如则,记则（    ） A   3     B  5        C 8        D  11 参考答案： B 9. 已知为等差数列，，以表示的前n项和，则使达到最大值n是（    ） A．18     B．19      C．20      D．21 参考答案： C 10. 在中，若，则是              （     ） （A）锐角三角形              （B）直角三角形        （C）钝角三角形              （D）无法确定 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算定积分?dx＝________. 参考答案： π 略 12. 已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为          ． 参考答案： 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式． 专题：计算题． 分析：先再利用圆的参数方程设出点C的坐标，再利用点到直线的距离公式表示出距离，最后利用三角函数的有界性求出距离的最小值即可． 解答： 解：， ∴距离最小值为． 故答案为：． 点评：本小题主要考查圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的和角公式及及三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题． 13. 已知函数（）的图象过定点，则点的坐标为      ． 参考答案： 14. 观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20，… 这些等式反映了正整数间的某种规律，若n表示正整数，则此规律可用关于n的等式表示为    ▲    ． 参考答案： （n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N?）；  15. 已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为_____________． 参考答案： 4. 【分析】 利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组，求出c可得. 【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，所以,解得，所以双曲线的焦距为4.故答案为4. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件，考查运算求解能力，属于基础题. 16. 设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的     复数是_______       参考答案：   略 17. 已知函数f（x）=sinx+5x，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围是　　． 参考答案： 1＜a＜ 【考点】正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题． 【分析】判定函数的单调性，奇偶性，然后通过f （1﹣a）+f （1﹣a2）＜0，推出a的不等式，求解即可． 【解答】解：函数f （x）=sinx+5x，x∈（﹣1，1），所以函数是增函数，奇函数，所以f （1﹣a）+f （1﹣a2）＜0，可得﹣1＜1﹣a2＜a﹣1＜1， 解得1＜a＜， 故答案为：1＜a＜． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质以及隐函数的基本性质，函数的单调性、奇偶性，以及不等式的解法，是易错题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）设是函数图象的一条对称轴，求的值； （2）求使得函数在区间上是增函数的的最大值． 参考答案： （1）或；（2） 【分析】 （1）先利用倍角公式化简，求出，代入可得； （2）先化简，然后结合在区间上是增函数求出的范围，从而可得最大值. 【详解】(1), ,或 ∴.  （2）. 当时，； 因为在区间上是增函数， 所以  且 ,所以,∴的最大值. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象，逻辑推理及数学运算的核心素养. 19. （12分）设命题，命题，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围 参考答案： ：由，得， 因此，或， 由，得 因此或， 因为是的必要条件，所以， 即． 因此解得． 略 20. 已知菱形ABCD的一边所在直线方程为，一条对角线的两个端点分别为和. (1) 求对角线AC和BD所在直线的方程; (2) 求菱形另三边所在直线的方程. 参考答案： AC: ， BD: 三边为，， 21. 已知椭圆C：x2+=1，过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于两点A、B． （Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程； （Ⅱ）设点N（0，），求||的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以y1=﹣1，又因为点A（x1，y1）在椭圆C上，所以，由此能求出直线l的方程． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以，则，由此进行分类讨论，能推导出当直线AB的方程为x=0或y=1时，有最大值1． 【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1）， 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1， 所以，解得y1=﹣1，（1分） 又因为点A（x1，y1）在椭圆C上， 所以，即，解得， 则点A的坐标为（）或（﹣）， 所以直线l的方程为，或． （Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，， 所以， 则， 当直线AB的斜率不存在时， 其方程为x=0，A（0，2），B（0，﹣2），此时； 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1， 由题设可得A、B的坐标是方程组的解， 消去y得（4+k2）x2+2kx﹣3=0， 所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，， 则， 所以 =， 当k=0时，等号成立，即此时取得最大值1． 综上，当直线AB的方程为x=0或y=1时，有最大值1． 【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用． 22. 设直线y=x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点． （1）求实数b的取值范围； （2）当b=1时，求． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（1）由直线y=x+b 与由2个交点可得方程有2个不同的解，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0有2个解△=16b2﹣12（2b2﹣2）＞0，解不等式可求 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，可求A，B的坐标，代入公式=可求或利用弦长公式 【解答】解：（1）将y=x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0．①… 因为直线y=x+b 与椭圆相交于A，B 两个不同的点， ∴△=16b2﹣12（2b2﹣2）=24﹣8b2＞0 ∴ （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，方程①为3x2+4x=0．… 解得． 此时 ∴== （利用弦长公式也可以）