天津华泽高级中学高三数学文测试题含解析

天津华泽高级中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（   ） A．甲应付钱 B．乙应付钱 C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 参考答案： B 由分层抽样知识可知，， 则甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱. 故选：B   2. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是      （  ） A．       B.    C．      D． 参考答案： A 【知识点】函数的单调性 解析：令，所以当a＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，若函数在所给区间上单调递增，则，得0＜a≤1，当a=0时显然满足题意，当a＜0时，函数在R上单调递增，由得，则函数在上单调递减，在上单调递增，则有，得-1≤a＜0，综上可知实数a的范围是. 【思路点拨】含绝对值的函数的单调性，可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性，也可直接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答. 3. 在中，若则角A的值为（   ）   A．         B．          C．      D． 参考答案：   B 4. 已知复数，则的虚部为    A、                 B、            C、1           D、 参考答案： C 略 5. 复数   A.           B.             C.          D. 参考答案： A 【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】   6. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 ,是一对相关曲线的焦点,是它们在第一象限的交点，当时， 这一对相关曲线中双曲线的离心率是                                   (    ) A．       B．          C．         D． 参考答案： C 略 7. 设集合A={0,1}，B={－1,0}，则A∪B=（） A.{0,1} B. {－1,0,1} C. {0} D. {－1,0} 参考答案： B 【分析】 根据并集的定义写出A∪B． 【详解】集合A＝{0，1}， B＝{﹣1，0}， 则A∪B＝{﹣1，0，1}． 故选：B． 【点睛】本题考查了并集的概念及列举法表示集合的形式，是基础题． 8. 设全集，集合，，则为 A．       B．       C.        D． 参考答案： C 略 9. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是 参考答案： D 略 10. 将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】列出基本事件，求出基本事件数，找出满足第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的种数，再根据概率公式解答即可 【解答】解：一颗骰子掷两次，共有36种． 满足条件的情况有（1，3），（2，6），共2种， ∴所求的概率P==． 故选：A． 【点评】本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是要做到不重复不遗漏，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式组的解集为  ▲  参考答案： 12. 在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为             . 参考答案： 略 13. 已知六棱锥P-ABCDEF的七个顶点都在球O的表面上，若，PA⊥底面ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则球O的体积为____________________. 参考答案： 【分析】 根据底面为正六边形，可知底面外接圆的半径为，由勾股定理可求外接球的半径，即可求出体积. 【详解】解：在六棱锥中，由于底面正六边形边长为1， 故底面外接圆半径， ，底面， 设外接球的半径为 则解得 故答案为： 【点睛】本题考查锥体的外接球的体积计算，属于基础题. 14. 在直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），过原点O的直线l2与l1垂直，垂足为M，则|OM|的最大值为　　． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】分a=0或a≠0两种情况讨论，设y=，根据判别式求出y的范围，即可得到|OM|的最大值 【解答】解：直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），化为y=ax﹣a+2，则直线l1的斜率为a， 当a=0时，11：y=2， ∵过原点O的直线l2与l1垂直， ∴直线l2的方程为x=0， ∴M（0.2）， ∴|OM|=2， 当a≠0时， 则直线l2的斜率为﹣， 则直线l2的方程为y=﹣x， 由，解得x=，y=， ∴M（，）， 则|OM|==， 设y=，则（1﹣y）a2﹣4a+4﹣y=0， ∴△=16﹣4（1﹣y）（4﹣y）≥0， 解得0≤y≤5， ∴|OM|的最大值为， 综上所述：|OM|的最大值为， 故答案为： 【点评】本题考查了直线方程的垂直的关系和直线与直线的交点和函数的最值得问题，属于中档题 15. 一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是        cm3；   参考答案： 略 16. 已知函数，若，则实数的取值范围是             . 参考答案： 17. 展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为         ． 参考答案： -30 由展开式中二项式系数和为32，可得，解得，， 根据二项式定理可以求得的展开式中， 三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10、10、5、1， 的展开式中， 常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1、10、-40、80， 所以展开式中项的系数为.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足 （1）                                 求的通项公式； （2）若的前项和为，求. 参考答案： （1）　 ，  ， （2） 19. （本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点， （Ⅰ）求椭圆的方程． （Ⅱ）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值 参考答案： 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，解得.           所求椭圆方程为   …………4分                      　　　   （Ⅱ）可得. …………………6分                           ，. .                                     …12分 ， .，.    ， .  ………14分 20. 中国农业银行开始为全国农行ATM机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a∶b∶c=2∶4∶5. 年龄/岁 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 频数/人 5 a b c 15 25   女客户的年龄茎叶图 幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元. (1)求a,b,c的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率; (2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X表示,求X的分布列与数学期望E(X). 参考答案： （1），概率为；（2）见解析 【分析】 （1）根据解方程组，求得的值.先根据茎叶图求得每组内女客户的人数，进而求得每组男客户的人数，然后根据相互独立事件概率计算公式，求得所求的概率.（2）先求得所有可能取值为.然后根据分类和分步计算原理求得对应的概率，由此求得分布列和数学期望. 【详解】(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55. 因a∶b∶c=2∶4∶5, 所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人, 故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P1=, 从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P2=, 则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P=P1×P2=. (2)由题意可知,X的所有可能取值为0,5000,10000,则 P(X=0)=, P(X=5000)=, P(X=10000)=. X的分布列为 X 0 5 000 10 000 P     E(X)=0×+5000×+10000×=5200(元). 【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查数据分析与处理能力，考查相互独立事件概率计算方法，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题. 21.   如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分别是AB、PD的中点. (1)求证:AF//平面PCE; (2)求证:平面平面PCD; (3)求四面体PEFC的体积. 参考答案： （1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FGCD，AECD，∴FGAE，∴AF∥GE，∵GE平面PEC，∴AF∥平面PCE； （2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF平面PAD，∴AF⊥CD． ∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE平面PEC， ∴平面PCE⊥平面PCD； (3)由(2)知GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD,所以GF⊥PD,,所以四面体PEFC的体积. 22. （2016?临汾二模）已知关于x的不等式|x﹣m|≤n的解集为{x|0≤x≤4}． （1）求实数m、n的值； （2）