云南省昆明市白邑中学高三数学理期末试卷含解析

云南省昆明市白邑中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 全集，，，则为 (　　)    A．       B．       C．       D． 参考答案： A 2. 设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为(     ) A． B． C． D．ln2 参考答案： A 考点：反函数． 专题：函数的性质及应用． 分析：考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离 解答： 解：∵曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称， 故可先求点P到直线y=x的最近距离d， 设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b， ∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1， ∴d==， ∴丨PQ丨的最小值为2d=． 故选：A 点评：本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法 3. 如图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（   ） A.20＋3　                 B.24＋3　    C.20＋4     　           D.24＋4  参考答案： A 略 4. 曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（　　） A．（0，） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞） 参考答案： D 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用． 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围． 【解答】解：y=ax2的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=， 设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as==， 又t=as2，n=lnm， 即有2as=，整理得as2﹣ln（2as）﹣1=0 设f（s）=as2﹣ln（2as）﹣1，所以f'（s）=2as﹣=，因为a＞0，s＞0， 所以由f'（s）＞0得到 当s＞时，f′（s）＞0，f（s）单调递增， 当0＜s＜时，f′（s）＜0，f（s）单调递减． 即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=， 由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞， 所以只要f（）＜0可得a的范围是a＞． 故选D． 5. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. 参考答案： C 阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为. 6. 定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（    ） A．              B． C．              D． 参考答案： D 略 7. 方程的根所在的区间为（    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 8. 已知函数，且，则的值是（ ） A.       B.       C.         D. 参考答案： A ：因为，所以，所以，故选A. 9. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合： ① ②M={（x，y）|y=ex﹣2} ③M={（x，y）|y=cosx} ④M={（x，y）|y=lnx} 其中所有“Ω集合”的序号是（　　） 　 A． ②③ B． ③④ C． ①②④ D． ①③④ 参考答案： A 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 新定义． 分析： 对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可． 对于②，画出图象，说明满足Ω集合的定义，即可判断正误； 对于③，画出函数图象，说明满足Ω集合的定义，即可判断正误； 对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足Ω集合定义． 解答： 解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°， 所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足Ω集合的定义； 在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立， 所以不满足Ω集合的定义，不是Ω集合． 对于②M={（x，y）|y=ex﹣2}，如图（2）如图红线的直角始终存在， 对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M， 使得x1x2+y1y2=0成立， 例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足Ω集合的定义， 所以是Ω集合；正确． 对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）， 对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立， 例如（0，1）、（π，0），满足Ω集合的定义，所以M是Ω集合；正确． 对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是Ω集合．   所以②③正确． 故选A． 点评： 本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题． 10. 函数的定义域为（    ） A．           B．           C．       D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+ f(2) +f(3) +f(4)+···+f(2009)的值为________ 参考答案： -1 12. ＝                 ． （　　） 参考答案： 13. 对于函数，现给出四个命题：ks5u ①时，为奇函数 ②的图象关于对称 ③时，方程有且只有一个实数根 ④方程至多有两个实数根 其中正确命题的序号为                     . 参考答案： ①②③ 若，则，为奇函数，所以①正确。由①知，当时，为奇函数图象关于原点对称，的图象由函数向上或向下平移个单位，所以图象关于对称，所以②正确。当时，，当，得，只有一解，所以③正确。取，，由，可得有三个实根，所以④不正确，综上正确命题的序号为①②③。 14. 已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=       . 参考答案： 试题分析：由题意，解得 所以， 15. 已知是奇函数，且，若，则      。 参考答案： 因为为奇函数，所以，所以，， 所以。 16. 已知复数z满足z(1+i)=2-4i，那么z=____. 参考答案： -1-3i 17. 已知tanα=2，则sin2α﹣2sin2α=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由条件利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数的基本关系把要求的式子化为，即可计算求得结果． 【解答】解：∵tanα=2， ∴sin2α﹣2sin2α===﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （04年全国卷Ⅱ）(12分) ． 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M． (Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM； (Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小． 参考答案： 解析：解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM， 则CA1=， ∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形， 又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B， ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=， 又BB1=1，∴A1B=2， ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1 又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM， 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM (II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F， 则FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD. 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1， 所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=， ∴∠B1GF是所求二面角的平面角 又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=. ∴cos∠B1GF= 即所求二面角的大小为π-arccos 解法二：如图以C为原点建立坐标系 (I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,,), M(,1,0),(,,),(,-1,-1), (0,,-),  ∴CD⊥A1B,CD⊥DM. 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线， 所以CD⊥平面BDM (II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,,)，∴，∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角， cos 所以所求二面角的大小为π-arccos 19. 已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|＞． （1）已知a=2，求不等式的解集； （2）已知不等式的解集为R，求a的范围． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式． 【分析】（1）将a=2代入不等式，零点分段去绝对值，解不等式即可． （2）根据绝对值的几何意义，f（x）=|x﹣a|+|2x﹣3|的最小值为f（a）或，对其讨论，可得答案． 【解答】解：（1）当a=2时，可得|x﹣2|+|2x﹣3|＞2， 当x≥2时，3x﹣5＞2，得， 当时，﹣3x+5＞2，得x＜1， 当时，x﹣1＞2，得：x∈?， 综上所述，不等式解集为或x＜1}． （2）∵f（x）=|x﹣a|+|2x﹣3|的最小值为f（a）或， 即， ∴， 令， 则或， 可得﹣3＜a＜1或a∈?， 综上可得，a的取值范围是（﹣3，1）． 20.（本小题满分12分） 已知动圆过点，且与圆：相内切. （Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹方程； （Ⅱ）已知点，点，过点且斜率为（）的直线与（Ⅰ）中的轨迹相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，线段的中点为. 记直线的斜率为，求证：为定值. 参考答案： 21. （本小题13分） 已知函数. （I）f(x)的最小正周期； （II）求证：当时，． 参考答案： 22. 某某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品． （1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；                     （2）质检人员从中随机抽出2听，设为检测出不合格产品的听数，求的分布列及数学期望．  参考答案： 解：（1）在6听