2022年陕西省榆林市玉林师范学院附属中学高三数学理联考试题含解析

2022年陕西省榆林市玉林师范学院附属中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是实数，则“”是 “” 的 A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件 C．充要条件              D．既不充分又不必要条件 参考答案： D 2. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（     ） A．7         B．        C．        D．   参考答案： D 略 3. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=0，a=3，q= a=，k=1 不满足条件a＜，a=，k=2 不满足条件a＜，a=，k=3 不满足条件a＜，a=，k=4 满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4． 故选：B． 　 4. 已知向量，其中，且，则的最小值为(     )     A．          B．          C．           D． 参考答案： B 5. 设数列的前项和满足，那么 A．         B．       C．            D． 参考答案： C 6. 已知函数f(x)＝e2x+ex+2-2e4，g(x)＝x2-3aex，集合A＝{x|f(x)＝0}，B＝{x|g(x)＝0}，若存在x1∈A，x2∈B，使得|x1-x2|＜1，则实数a的取值范围为 A．  B．  C．  D． 参考答案： B 7. 已知函数，若有且只有两个整数x1，x2使得，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 由题意可知，，即，，设，由，可知，在上为减函数，在上为增函数，的图象恒过点，在同一坐标系中作出的图象如下：若有且只有两个整数，使得，且，则 ，即，解得，故选C.   8. 已知集合，则（ ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 9. 已知定义在上的偶函数满足且在区间上是增函数则                                                            （） A.   B. C.   D. 参考答案： B 10. 已知函数（其中）的图象如图1所示，则函数的图象是图2中的（   ）          A.              B.                  C.             D.       参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为        ． 参考答案： 【考点】归纳推理；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；推理和证明． 【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出fn（x）的表达式，即可得出f2015（x）的表达式 【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=． f2（x）=f（f1（x））=， f3（x）=f（f2（x））==， … fn+1（x）=f（fn（x））=， 故f2015（x）= 故答案为：． 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征． 12. 阅读右边的框图填空：若a＝0.80.3，b＝0.90.3，c＝log50.9，则输出的数是__ _． 参考答案： b(或0.90.3) 13. 已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题   (1)        (2) 在[-2，2]上有5个零点   (3)  点(2014，0)是函数的一个对称中心   (4) 直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是___________. 参考答案： (1) (2) (3) 略 14. 已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=___. 参考答案： -6 本题考查了基底形式的向量运算，通过对向量的分解转化为基底的夹角，难度较小。 按要求·，只需将题目已知条件带入，得：·=（-2）·（3+4）= 其中=1，==1×1×=，， 带入，原式=3×1—2×—8×1=—6 15. 若函数在(0,e)上是增函数，函数，当时，函数的最大值M与最小值m的差为，则a的值为                . 参考答案： 16. 在锐角的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若    . 参考答案： 略 17. 若存在实数使成立，求常数的取值范围          。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是，为侧棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求直线到平面的距离. 参考答案： （1）方法一： 以中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分 由题意得 则.    .............3分 设为向量的夹角， 则 ，.....5分 异面直线与所成角的大小为arccos     .    ...... 6分 方法二：取中点，连结. ………………………………….2分 （或其补角）为异面直线所成的角. ……3分 由题意得:在中，;在中，;……………………4分   在等腰三角形中，                                ………5分 所以异面直线与所成角的大小为           .   .... 6分 （2）方法一： 由题意可得, 所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为.  …………….8分 设平面的法向量为，, 由得 ,…………………11分 即.  ……………………………………………………12分 所以     故直线到平面的距离为.…………………………………14分 方法二： 由题意可得, 所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为.…………….8分 由题意得， 等腰底边上的高为， 则， 且到平面的距离为，………………………………………12分 由得……………………………………………………………13分 ，则，   所以，直线到平面的距离为.……………14分   略 19. 已知函数． （Ⅰ）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数f(x)在处取得极值，对恒成立，求实数b的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）． 【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为. 因为，所以， 当时，在上恒成立，函数在单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，由得，由得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 （Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知， ∴， 令，所以， 令可得在上递减，令可得在上递增， ∴，即. 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力. 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决. 20. （12分） 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点． （Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 参考答案： 【考点】： 平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】： 计算题；证明题． 【分析】： （Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC； （Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案． 证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， ∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1， ∴DC1⊥BC． 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， ∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C， ∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1， ∴平面BDC1⊥平面BDC； （2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=， 又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1， ∴（V﹣V1）：V1=1：1， ∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1． 【点评】： 本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题． 21. （12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图． （Ⅰ） 求图中x的值； （Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出． （II）根据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名女生的基本事件，根据概率公式计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.006．（4分） （Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.006×10=6人， 其中女生2人，男生4人． 设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个， 至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，