2022年辽宁省鞍山市八里中学高三数学理期末试题含解析

2022年辽宁省鞍山市八里中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，，定义：，．给出下列命题：      (1)对任意，都有； (2)若是复数的共轭复数，则恒成立； (3)若，则； (4)(理科) 对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答](  　　)． (文科)对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答](    　　)．    A．(1)(2)(3)(4)     B．(2)(3)(4)　    C．(2)(4)     D．(2)(3) 参考答案： C 2. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA 、sinB、 sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（      ）   A.直角三角形   B.钝角三角形      C.等腰直角三角形    D.等边三角形 参考答案： D 3. 已知向量，则实数的值为（  ） A．           B．           C．            D． 参考答案： B 略 4. 执行如图所示程序框图，则输出的的值为（     ） A、21 B、25 C、45 D、93 参考答案： C 5. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　） A．         　 B. C． 　   　D. 参考答案： B 试题分析：通过程序框图可知，输出的函数是奇函数且有零点， 对于A答案：，函数定义域为关于原点对称，，函数为奇函数，而，与x轴无交点，所以无零点，所以A错误； 对于B答案：，定义域为R，关于原点对称， 6. 直线交双曲线的右支于A，B两点，设AB的中点为C，O为坐标原点，直线AB，OC的斜率存在，分别为，则（    ） A．-1         B．       C．1       D． 参考答案： C 7. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ）    (A)         (B)          (C)          (D) 参考答案： C 略 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为， 焦距为2c , 直线与双曲线的一个交点M满足 , 则双曲线的离心率为         （    ） A．       B．           C．2            D．  参考答案： D ：∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M. ∴|MF1|＝ ，|MF2| 由双曲线的定义有： |MF2|－|MF1|＋＝＝2a， ∴离心率 9. 已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，向量，， =（3m+n，m﹣3n）， 则==， 令t=，则=t， 而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图， t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离， 分析可得：≤t≤2， 又由=t， 故≤≤2； 故选：D． 【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式． 10. 以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： A 【分析】 由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；   对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误； 对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误； ∴只有命题①正确． 故选A． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线是曲线的一条切线，则实数b＝    ． 参考答案： 略 12. ①命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”； ②函数的零点有2个； ③若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0； ④函数图象与轴围成的图形的面积是； ⑤若函数f(x)＝在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）． 其中真命题的序号是_____________（写出所有正确命题的编号）．  参考答案： ①③ 略 13. 若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=           ． 参考答案： 27 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【专题】计算题． 【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（ 2，8）确定出解析式，然后令x=3即可得到f（3）的值． 【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过 （2，8）， 则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3， ∴f（3）=（3）3=27 故答案为：27 【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值． 14. 以双曲线的一个顶点为圆心的圆经过该双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条准线相切，则该双曲线的离心率为         参考答案： 15. 数列满足,,是的前 项和,则      . 参考答案： 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bcosC﹣ccosB=4，≤C≤，则tanA的最大值为　　． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cosB=﹣=﹣＜0，可得A为锐角，可得要tanA取最大值，则b，c取最小值，由bcosC=ccosB+4=c×（﹣）+4=3，解得cosC=， 由C的范围即可解得≤cosC≤，从而可求b的范围，结合余弦定理即可解得c的范围，从而由余弦定理即可求得tanA的最大值． 【解答】解：在△ABC中，∵a=2，bcosC﹣ccosB=4=2a， ∴由正弦定理可得：sinBcosC﹣sinCcosB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，整理可得：sinBcosC+3cosBsinC=0，即：sinA+2cosBsinC=0， ∴a+2ccosB=0，解得：cosB=﹣=﹣＜0，可得：B为钝角，A为锐角． ∴要tanA取最大值，则A取最大值，B，C取最小值，从而b，c取最小值． ∵bcosC=ccosB+4=c×（﹣）+4=3，解得：cosC=， ∵≤C≤，可得：≤cosC≤，即：≤≤，解得：3≤b≤6， 又∵cosB==﹣，整理可得：b2﹣c2=8， ∴≤c≤2， ∴当tanA取最大值时，b=3，c=，此时，由余弦定理可得：cosA===， ∴从而求得tanA==．即tanA取最大值为． 故答案为：． 17. 已知的展开式中，含有项的系数是54，则          ． 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：,,,,,. （Ⅰ）求图中的值； （Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）． ；；， ∴.………………12分 考点：频率分布直方图，随机变量的数学期望． 19. （本小题满分12分） 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求： （I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；      （II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。      参考答案： 解析：（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P X的数学期望EX= （Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= , 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++= 20. (12分) 如图，在四棱锥中，底面是的中点.     (I)证明：；     (II)证明：平面；     (III)求二面角的大小. 参考答案： 解析：(I)证明：在四棱锥中， 因底面平面故.     平面.     而平面. (II)证明：由可得.是的中点，.     由(I)知，且所以平面.而平面.     底面在底面内射影是.     又综上得平面. (III)解法一：过点作垂足为连结. 由(II)知，平面在平面内的射影是则.因此是二面角的平面角.     由已知，得.设可得         在中，.则         在中，     所以二面角的大小是 解法二：由题设底面平面则平面平面交线为     过点作垂足为故平面过点作垂足为连结故因此是二面角的平面角.                  由已知，可得.设可得         ∽     于是，     在中，     所以二面角的大小是 【考点】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 21. （本小题满分13分） 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程． 参考答案： （Ⅰ）解：设，由条件知，，得. 又，所以，. 故的方程为.…………5分 （Ⅱ）解：当轴时不合题意， 故可设：，，． 将代入得， 当，即， 又点O到直线l的距离d＝. 所以△OPQ的面积 S△OPQ＝d·|PQ|＝. 设，则t>0，. 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝时等号成立，满足Δ>0， 所以，当△OPQ的面积最大时，k＝，l的方程为y＝－2.