吉林省长春市第三十一中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析

吉林省长春市第三十一中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（     ） A． 2        B．       C.         D． 参考答案： C 2. 若（表示虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限    B．第二象限     C．第三象限       D．第四象限 参考答案： D 略 3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最髙气温(单元：)的数据，绘制了如图的折线图. 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图,下列结论错误的是（   ） A.最低气温与最高气温为正相关 B.10月的最高气温不低于5月的最高气温 C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月 D.最低气温低于的月份有4个 参考答案： D 4. 点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积最大值为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积． 【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q， 球的表面积为， 球的半径为r，，r=， 四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大， 就是D到底面ABC距离最大值时， h=r+=2． 四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键． 5. 已知，则(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 由题意知，.故选B.   6. 某堂训练课上，一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为,则四 次射击中，他命中2次的概率为                                                                （     ） A．            B．            C．            D．以上都不对 参考答案： C 7. 设，则的大小关系为(     ) A. B. C. D. 参考答案： A 8. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“” 是“”的（   ） A．充分不必要条件       B．必要不充分条件       C．充要条件       D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 试题分析：因为直线在平面内，直线在平面内，且，若，根据面面垂直的性质定理， 一定有；反之，当，若时，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、面面垂直的判定与性质. 9. 某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用如下图的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的   A.A＞0,V＝S－T                 B.A＜0,V＝S－T C.A＞0, V＝S＋T                 D.A＜0, V＝S＋T      参考答案： C 略 10. ，则     （     ） A．           B.           C.           D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC=　   　，=　 　． 参考答案： 2，﹣6 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值． 【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2， 由余弦定理得 BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A =22+22﹣2×2×2×cos120° =12， ∴BC=2， ∴=（﹣）?（﹣） =﹣+? =﹣22+2×2×cos120° =﹣6． 故答案为：2，﹣6． 　 12. 有四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为．把和分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如与相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为        ． 参考答案： 2分 略 13. 函数的图象与函数的图象有个不同的交点，则实数的取值范围是            . 参考答案： 略 14. 已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则  △ABP的面积为        ； 参考答案： ；解析：先求出交点坐标为（1，1），再分别求出两曲线在该点处的切线方程，求出A、B、P三点坐标，再求面积； 15. 的展开式中常数项是      。（用数字作答） 参考答案： 14 16. 双曲线的离心率为             ． 参考答案： 2 ． 17. 已知函数f(x)＝－x2＋x的定义域为[m,n], 值域为[2m,2n], 则m＋n ＝    . 参考答案： －2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）． （Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 见解析 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）先根据斜率公式求f（x），再由极值确定m的取值范围，（Ⅱ）恒成立问题通常转化为最值问题． 【解答】解：（Ⅰ） 由题意知，， 所以 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0； ∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 故f（x）在x=1处取得极大值． ∵函数f（x）在区间上存在极值． ∴得，即实数m的取值范围是． （Ⅱ）  由题意得， 令，则， 令h（x）=x﹣lnx，（x≥1），则， ∵x≥1∴h′（x）≥0， 故h（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴h（x）≥h（1）=1＞0从而g′（x）＞0， 故g（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴g（x）≥g（1）=2， ∴实数t的取值范围是（﹣∞，2]． 　 19. 在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：． （1）求圆O和直线l的直角坐标方程； （2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】（1）圆O的方程即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0． （2）由，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标． 【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0． 直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）由，可得  ，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1）， 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题． 20. 选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）当时，解不等式； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 参考答案： （1）当时，不等式. 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得， 综上所述，不等式的解集为 （2）， ∴，解得或， 即的取值范围是   21. （本小题满分14分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程； （Ⅱ）求在的最大值． 参考答案： （I）当时            ………………….3分      即：所求切线方程为：           ………………….6分 （II） 当时，   在上递增                                  ………….7分 当时 可令 的对称轴且过点 当时，在恒成立  在上递增                                ………………….9分 当时， 若，即：时，在恒成立 在上递减                   ………………….10分 若，即：时， 在上大于零，在上小于零 在上递增，在上递减   ………….12分 若，即：时， 在恒成立  在上递增                       ….13分 综上：   ….14分 22. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D是BC的中点，. （Ⅰ）求证：平面；                    （Ⅱ）求点A1 到平面的距离.   参考答案： 证明：（Ⅰ）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点 且 即 解得 解法二：由①可知 点到平面的距离等于点C到平面的距离…………8分 为 …………10分 设点C到面的距离为h 即 解得 略