北京平谷县西柏店联办中学高三数学文期末试卷含解析

北京平谷县西柏店联办中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图为一个半圆柱, 是等腰直角三角形, F是线段CD的中点, ,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB与EF所成角的正弦值为（    ） A．        B．            C.           D． 参考答案： B 本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力. 设上底半圆的半径为,由,得.因为,所以.又异面直线与所成的角为所以. 2. 已知全集，，则（    ） A．          B．        C．         D． 参考答案： D 3. 已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，过点P（0，t）的直线交圆于不同的两点A，B，且|PA|=|AB|，则实数t的取值范围是(     ) A．[﹣1，7] B．（3，7] C．[3﹣2，3）∪（3，3+2] D．[3﹣4，3）∪（3，3+4] 参考答案： D 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：由圆M：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，可得圆心M（2，3），r=2．根据割线定理可得|PA|?|PB|=（|PM|+r）（|PM|﹣r）=|PM|2﹣4，再利用|PA|=|AB|≤2r，|PM|2=22+（3﹣t）2，即可得出． 解答： 解：由圆M：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，可得圆心M（2，3），r=2． 根据割线定理可得|PA|?|PB|=（|PM|+r）（|PM|﹣r）=|PM|2﹣4， ∵|PA|=|AB|，|PM|2=22+（3﹣t）2， ∴2|AB|2=22+（3﹣t）2﹣4， 化为（3﹣t）2=2|AB|2， ∵|AB|≤2r=4， ∴（3﹣t）2≤2×42=32， 解得3﹣4≤t≤3+4， 又t≠3， ∴3﹣4≤t≤3+4且t≠3． 故选D． 点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、切割线定理、不等式的解法等基础知识与基本方法，属于难题． 4. 函数的反函数（  ） A．   B．  C．    D． 参考答案： C 略 5. 若集合则集合(     ) A．（-2，+∞） B．（-2，3） C．  D．R 参考答案： C 略 6. 已知集合，，则（     ） （A）  （B） （C）  （D） 参考答案： C 因为，,所以，选C. 7. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为     （A）3        （B）4       （C）18         （D）40 参考答案： C 8. 曲线在处的切线方程为(   ) A．   B．     C．         D． 参考答案： A 9. 设集合，则等于 A． B．  C．   D． 参考答案： B 略 10. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （    ）                           A．1个               B．个             C．个               D．个 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是           ． 参考答案： 【考点】等差数列的性质． 【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；解三角形． 【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值． 【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0， 设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C， 则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4， ∴A＞B＞C， ∵最大角的正弦值为，∴sinA=， 由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°， 当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立； 即A=120°，则cosA===， 化简得，解得c=3， ∴b=c+2=5，a=c+4=7， ∴cosC===， 又C∈（0°，180°），则sinC==， ∴这个三角形最小值的正弦值是， 故答案为：． 【点评】本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力． 12. 在△ABC中，若（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6，且该三角形面积为，则△ABC的最大边长等于          ． 参考答案： 14 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】利用正弦定理化简已知可得：（a+b）：（a+c）：（b+c）=4：5：6，从而解得：a：b：c=3：5：7，不妨设a=3x，那么b=5x c=7x，则c为△ABC的最大边长．由余弦定理可求C，利用三角形面积公式解得ab=60．由余弦定理即可解得x的值，从而可求c的值． 【解答】解：∵（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6， ∴利用正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，代入上式可得：（a+b）：（a+c）：（b+c）=4：5：6， 从而解得：a：b：c=3：5：7， 不妨设a=3x，那么b=5x c=7x，则c为△ABC的最大边长． ∴cosC==﹣， ∴由0＜C＜180°，可得：C=120°，sinC=， ∴由S△ABC=absinC=ab=15，解得ab=60． ∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：49x2=9x2+25x2﹣2×60×（﹣），解得：x2=4，x=2， 从而可得△ABC的最大边长c=7×2=14． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查． 13. 运行如下图所示的程序框图，若输出，则输入的取值范围 是               ． 参考答案： 我们构造数列，为循环过程中x的值，则，所以，所以，要满足输出，则，即，解得，所以输入的取值范围是。 【答案】 【解析】略 14. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆 所截得的弦长为____________．   参考答案： 略 15. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为     。 参考答案： 如图，过球心O向AC作垂线OE由球的对称性知一定垂直平分AC，由长方形AB=6,BC=,得AC=2AE=，即AE=，由勾股定理可得OE=，所以. 16. =__________。 参考答案： - 17. 过点M(－2， a)和N(a，4)的直线的斜率为1，则实数a的值为____________. 参考答案： 1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）   设函数 （Ⅰ）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围； （Ⅱ）若函数在内没有极值点，求的范围； 参考答案： 19. （本小题满分14分） 设数列的前项和为,且对任意的都有, (1)求数列的前四项； (2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明； (3)求证：对任意都有. 参考答案： (1)令得,,故；         令得,,故；         令得,,故； 令得,,故；…………4分 (2)由(1)可以猜想,下面用数学归纳法进行证明: ①当时,结论显然成立； ②假设当时结论成立,即,从而由已知可得：.故. ∴. 即,当时结论成立. 综合①②可知,猜想成立.即,数列的通项为.…………9分 (3)∵,∴, ∴ ∴对任意都有.………………14分 20. （本小题满分12分）    已知函数R，是函数的一个零点.   （1）求的值，并求函数的单调递增区间；   （2）若，且，，求的值. 参考答案： （1）解：∵是函数的一个零点，      ∴ .           …………………………………………1分      ∴ .                           ………………………………………………2分      ∴                  ………………………………………………3分              .            ………………………………………………4分        由，Z ，        得，Z ， ………………………………………………5分           ∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分   （2）解：∵，            ∴.                      ∴ .                    ………………………………………………7分            ∵ ，            ∴ .       ………………………………………………8分            ∵，            ∴.                     ∴ .                  ………………………………………………9分            ∵ ，            ∴ .        ……………………………………………10分            ∴ …………………………………………11分                                               .               ………………………………………………12分 21. 已知函数的图象在处的切线l过点. （1）若函数，求的最大值（用a表示）； （2）若，证明：. 参考答案： (1) ；(2)证明见解析. 试题分析： (1)由题意可得：.结合导函数研究函数的单调性可得. (2)由题意结合(1)的结论有，构造函数，结合函数的特征即可证得题中的结论. 试题解析： （1）由，得， 的方程为，又过点， ∴，解得. ∵， ∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故. （2）证明：∵，∴， ，∴ 令，，，令得；令得. ∴在上递减，在上递增， ∴，∴，，解得：. 22. (本小题满分12分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求： (1)打满4局比赛还未停止的概率； (2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)． 　令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜． 参考答案： (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止