福建省宁德市福鼎第十七中学高三数学文月考试题含解析

福建省宁德市福鼎第十七中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等差数列中，首项公差，若，则（    ） （A）、 （B）、         （C）、 （D）、 参考答案： A ，         ∴． 2. 已知集合，，则A∩B=等于（    ） A. (－1,3) B. (0,3) C. (1,3) D. (2,3) 参考答案： D 【分析】 求出集合A，然后根据数轴求出. 【详解】解：因为， 所以或， 故集合{或}， 又因为集合， 所以=，故选D. 【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素. 3. 若椭圆过抛物线的焦点,且与双曲线有相同的焦点,则该椭圆的方程是 A.       B.      C.       D. 参考答案： D 4. 二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积），三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度（   ） A．         B．       C.          D． 参考答案： A 5. 已知函数则是 （    ）     A．单调递增函数    B．单调递减函数 C．奇函数         D．偶函数 参考答案： D 略 6. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（    ） A．1          B．        C.          D．2 参考答案： B 7. 若直线x=被曲线C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是(    )       (A)        (B)       (C)       (D)p 参考答案： C 解：曲线C表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，－arccosa)为直径端点的圆．即以(α，α)及(－α，－+α)(α∈[－，])为直径端点的圆．而x=与圆交于圆的直径．故d=≥． 8. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值等于     A．10               B．9                C．8                D．7 参考答案： B 9. 在等比数列中,,则的取值范围是 A.            B.   C.            D. 参考答案： B 由等比数列的性质可得，则是同号的，（1）若同正，由基本不等式可得：.（2）若同负，则，故的范围为. 10. 设全集若曲线f（x，y）= 0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）= 0的“自公切线”.下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有 A．①② B．②③               C．①④               D．③④ 参考答案： B 函数的图象如下左图显然满足要求； 函数的一条自公切线为y=5； 为等轴双曲线，不存在自公切线； 而对于方程，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生分层抽样调查，高一、高二、高三分别有学生800名，600名，500名。若高三学生共抽取25名，则高一年级每位学生被抽到的概率为     . 参考答案： 略 12. （5分）（2015?枣庄校级模拟）设、是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且，，则△OAB的面积等于　　． 参考答案： 5 【考点】： 向量在几何中的应用；数量积表示两个向量的夹角． 【专题】： 计算题． 【分析】： 确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，利用三角形的面积公式，即可得到结论． 解：由题意，=（﹣2，1），=（4，3） ∴||=，||=5 ∴cos∠AOB==﹣ ∴sin∠AOB= ∴△OAB的面积等于××5×=5 故答案为：5 【点评】： 本题考查三角形面积的计算，解题的关键是确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，属于中档题． 13. 将函数的图像按向量（）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为           . 参考答案： 由题意知，按平移，得到函数，即，此时函数为偶函数，所以,所以，所以当时，的最小值为。 14. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_______ 参考答案： 108（石）. 【分析】 根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果. 【详解】因为256粒内夹谷18粒， 故可得米中含谷的频率为， 则1536石中米夹谷约为1536（石）. 故答案为：（石）. 【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题. 15. 设复数（i为虚数单位），则z的共轭复数为_______. 参考答案： 【分析】 根据复数运算整理出，根据共轭复数定义得到结果. 【详解】    的共轭复数为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题. 16. 已知，则的最大值为________. 参考答案： 17. 已知||=2，||=，，的夹角为30°，（ +2）∥（2+λ），则（（+λ））?（﹣）=　  　． 参考答案： 1 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据即可求出λ的值，然后进行向量数量积的运算便可求出的值． 【解答】解：； ∴； ∴； ∴λ=4； ∴ = = = =1． 故答案为：1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐 标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2． （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1将曲线C1的参数方程消去参数α，即可得出C1的普通方程．将代入上述方程即可得出极坐标方程． （Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，即可得直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点坐标． 【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程（α为参数）．消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4， ∴C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0． 将代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0， ∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ． （Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0． 由， 解得或． ∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）． 可得极坐标分别为（4，0）或． 【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 19. 已知函数f（x）=4x3﹣3x2cosθ+cosθ其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π． （1）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值； （2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a﹣1，a）（其中a＜1）内都是增函数，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；导数的综合应用． 【分析】（1）当cosθ=0时，求出f（x），求出导数，即可判断单调性和极值； （2）求出导数，求出单调区间，判断极小值，解大于0的不等式，即可得到； （3）由（2）知f（x）在区间内都是增函数，由区间的包含关系得到a的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）当cosθ=0时，f（x）=4x3，f′（x）=12x2≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值． （2）f′（x）=12x2﹣6xcosθ，． 当cosθ＞0时容易判断f（x）在上是增函数，在上是减函数， 故f（x）在． 由，即＞0，可得， 故． 同理，可知当cosθ＜0时，f（x）在x=0处取极小值f（0）=cosθ＞0，即cosθ＞0，与cosθ＜0矛盾， 所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零． 综上，要使函数f（x）在R上的极小值大于零，参数θ的取值范围为 （3）由（2）知函数f（x）在区间内都是增函数，由题设： 函数在（2a﹣1，a）内是增函数，则a需满足不等式 （其中θ∈时，）从而可以解得． 【点评】本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查三角不等式的运算求解能力，属于中档题． 20. 在直角坐标系xOy中，直线，圆,以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C1，C2的极坐标方程； （2）若直线C3的极坐标方程为，设C2，C3的交点为M，N，求的面积． 参考答案： (1),；(2)． 试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为. 试题解析： （1）因为，所以的极坐标方程为， 极坐标方程为 （2）将代入 得得， 所以 因为的半径为1，则的面积为 考点：坐标系与参数方程. 21. （本小题满分14分）已知四棱锥如图5-1所示，其三视图如图5-2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形. （Ⅰ）求此四棱锥的体积； (Ⅱ)若E是PD的中点，求证：平面PCD； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若F是的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面. 参考答案： （Ⅰ）由题意可知，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其面积，高，所以  ┅┅┅┅  4分 (Ⅱ)由三视图可知，平面，∴   ┅┅┅┅┅┅ 5分 ∵是正方形，∴    ┅┅┅┅┅┅  6分 又，平面，平面 ∴平面，         ┅┅┅┅┅┅  7分 ∵平面，∴    ┅┅┅┅┅┅  8分 又是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴┅┅┅┅┅┅  9分 又，平面，平面 ∴平面.   ┅┅┅┅┅┅  10分 (Ⅲ)∵分别是的中点，∴且 又∵且，∴且 ∴四边形是梯形，              ┅┅┅┅┅┅  13分 是梯形的两腰，故与所在的直线必相交。 所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面. ┅┅┅┅┅┅ 14分 22. 选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式； （2）若、，，，证明：. 参考答案： 解：（1）由得：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，不等式的解集为. （2）证明：， 因为，，即，， 所以， 所以，即，所以原不等式成立.