2022-2023学年天津汉沽区第九中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年天津汉沽区第九中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是(     ) A．27 B．26 C．9 D．8 参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；新定义． 【分析】根据拆分的定义，对A1分以下几种情况讨论：A1=?，A1={a1}，A1={a1，a2}，A1={a1，a2，a3}． 【解答】解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论： ①若A1=?，必有A2={a1，a2，a3}，共1种拆分； ②若A1={a1}，则A2={a2，a3}或{a1，a2，a3}，共2种拆分；同理A1={a2}，{a3}时，各有2种拆分； ③若A1={a1，a2}，则A2={a3}、{a1，a3}、{a2，a3}或{a1，a2，a3}，共4种拆分；同理A1={a1，a3}、{a2，a3}时，各有4种拆分； ④若A1={a1，a2，a3}，则A2=?、{a1}、{a2}、{a3}、{a1，a2}、{a1，a3}、{a2，a3}，{a1，a2，a3}．共8种拆分； ∴共有1+2×3+4×3+8=27种不同的拆分． 故选A 【点评】本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在． 2. 已知是定义域为R的奇函数，, 的导函数的图象如图所示，若两正数满 足，则的取值范围是 A.      B.      C.     D. 参考答案： D 因为是定义域为R的奇函数，,所以，又因为恒成立，所以函数在R上单调递增，所以若两正数满足 ，则，把b看做横坐标，a看做纵坐标，画出线性约束条件的可行域，的几何意义为过点的直线的斜率，由可行域知，当为点（2,0）时，取最小值，其最小值为；当为点（0,4）时，取最大值，其最大值为。所以的取值范围是。 3. 若表示阶矩阵中第行、第列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为，且（、）,则=            . 参考答案： 略 4. 已知全集为实数集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为 （   ） A.        B.   C.   D. 参考答案： A 5. 已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（　　） A． B．± C．± D．± 参考答案： B 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由题意可得（+λ）?（﹣λ）=0，计算可得=0，代入数据解λ的方程可得． 【解答】解：∵+λ与﹣λ垂直，∴（+λ）?（﹣λ）=0， ∴=0，即=0， 代入数据可得32﹣λ2×52=0， 解得λ=± 故选：B 6. 已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是 A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D. 7. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　） A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案． 【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{an}，其中a1=103，d=13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5； 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m++97m+=2×1125， 解得：m=9． 故选：A． 8. （5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则a+b的最小值为（　　） 　 A． B． C． D． 4 参考答案： D 满足约束条件的区域是一个四边形， 如图，4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4）， 由图易得目标函数在（1，4）取最大值2，即， ∴a+b=（a+b）（）=（5+） ∵a＞0，b＞0，∴≥=4 当且仅当时，的最小值问4 ∴a+b的最小值为 故选A． 9. “”是“”的（　　） A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 10. 函数y=（    ） (A)在(-,+)上单调递增。    (B)在上是减函数，在上是增函数。 (C)在上是增函数，在上是减函数。 (D)在上是减函数，在上是增函数。 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线与曲线切于点，则的值为        . 参考答案： 3            12. 已知抛物线，则它的焦点坐标为_____________. 参考答案： 略 13. 下列四个命题： ①直线与圆恒有公共点； ②为△ABC的内角，则最小值为； ③已知a，b是两条异面直线，则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与a，b都垂直； ④等差数列{}中，则使其前n项和成立的最大正整数为2013; 其中正确命题的序号为                。（将你认为正确的命题的序号都填上） 参考答案： ①③ 略 14. （5分） 如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是　　． 参考答案： 3 【考点】： 程序框图． 【专题】： 图表型；算法和程序框图． 【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k的值，当n=111时，满足条件n＞100，退出循环，输出k的值为3． 解：模拟执行程序框图，可得 n=6，k=0 n=13，不满足条件n＞100，k=1 n=27，不满足条件n＞100，k=2 n=55，不满足条件n＞100，k=3 n=111，满足条件n＞100，退出循环，输出k的值为3． 故答案为：3． 【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的n，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 15. 对于命题，使得，则为：__________________________。 参考答案： ，使得， 16. 方程=的解为            ． 参考答案： -2 略 17. 已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，则a的取值范围为　    　． 参考答案： [0，8] 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】由题意设g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）是增函数，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范围． 【解答】解：令g（x）=f（x）+2x=ax2﹣ax+lnx，（x＞0）； 由题意知g（x）在（0，+∞）单调递增， 所以g'（x）=2ax﹣a+≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立； 令h（x）=2ax2﹣ax+1，（x＞0）； 则①若a=0，h（x）=1≥0恒成立， ②若a＜0，二次函数h（x）≥0不恒成立，舍去 ③若a＞0，二次函数h（x）≥0恒成立， 只需满足最小值h（）≥0， 即﹣+1≥0，解得0＜a≤8； 综上，a的取值范围是[0，8]． 故答案为：[0，8]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(为参数）. （1）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （2）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为，求的取值范围. 参考答案： （I）直线的一般方程为， 曲线的直角坐标方程为. 因为，所以直线和曲线C相切. （II）曲线D为.曲线D经过伸缩变换 得到曲线E的方程为，则点M的参数方程为（为参数），所以，所以的取值范围. 19. （本小题满分12分） 已知椭圆 的上、下、左、右四个顶点分别为A、B、C、D，x轴正半轴上的某点G满足 （1）求椭圆的方程； （2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点M在圆上， 且M在第一象限，过M作圆的切线交椭圆于P,Q两点， 求证：△PF2Q的周长是定值．   参考答案： （1）设点的坐标为（），可知，，    …………2分 ，.                              …………4分 因此椭圆的方程是                           …………5分 （2）方法1：设，则，           …………6分 ， ∵，∴，                           …………8分 在圆中，是切点， ∴，  ……………10分 ∴， 同理，∴，       …………11分 因此△的周长是定值． …………12分 方法2：设的方程为， 由，得           …………7分 设，则，，    …………8分 ∴ ，                     …………9分 ∵与圆相切，∴，即， ∴，   ∵，    …………10分 ∵，∴， 同理可得 ， ∴，  ……11分 因此△的周长是定值．   …………12分   20. (本小题满分12分) 已知函数在上的最大值为,当把的图象上的所有点向右平移个单位后,得到图象对应的函数的图象关于直线对称. (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)在中, 三个内角所对的边分别是,已知在轴右侧的第一个零点为,若,求的面积的最大值. 参考答案： (Ⅰ)由题意知，函数在区间上单调递增，所以，…………2分 ,得 ，…………3分 经验证当时满足题意，故求得,所以，…………4分 故，又，所以=. 故.…………6分 (Ⅱ)根据题意，，又…………8分 得：，…………10分 . ∴S=,∴S的最大值为.…………12分 21. 设数列 为等比数列， ，公比q是 的展开式中的第二项（按x的降幂排列）。 　　（1）用n，x表示通项 与前n项和Sn；　　（2）若 ，用n，x表示 。 参考答案： 解析： 　　（1）由 得 　　∴ m=3，　　　　 ∴ 　　又 展开式中第2项 ，　　∴ ，　　 　　（2）由 表达式引发讨论： 　　（Ⅰ）当x=1时 　　此时 　　　　　　　　 ① 　　又 　　　　 ②　∴ ①+②得 ， 　　∴ 　　（Ⅱ）当 时， 　　此时 　　 　　 　 　　于是由（Ⅰ）（Ⅱ）得 22. （12分）已知的角所对的边分别是，设向量，，. （1）若∥，求角B的大小； （2）若，边长，求的面积的最大值． 参考答案： （1）∵∥ ， （2）由得， 由均值不等式有（当且仅当时等号成立），