2022-2023学年四川省凉山市喜德中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年四川省凉山市喜德中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，， 是抛物线的焦点，若，则 （A）          （B）           （C）        （D） 参考答案： A 由抛物线的焦点为（1,0），准线为＝－1，由抛物线的定义，可知， ，…，故 2. 若函数，若，则实数的取值范围是（　　　）． ． 　　        ． ． ． 参考答案： C 略 3. 定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是  （     ）  （1）       （2）       （3）       （4）       （A）     （B） A.   B.  C.    D. 参考答案： B 4. 已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0．+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且?x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．则下列说法一定正确的是（　　） A．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣） B．﹣f（﹣）＞﹣f（﹣） C．﹣f（）＞﹣f（） D．﹣f（﹣）＞﹣f（） 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】令F（x）=sin2x﹣f（x），可得F′（x）=2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．可得F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又?x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．可得f（﹣x）=sin2x﹣2sin2x+f（x）=﹣[sin2x﹣f（x）]，F（x）为奇函数．进而得出答案． 【解答】解：令F（x）=sin2x﹣f（x），则F′（x）=2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时． ∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又?x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1． ∴f（﹣x）+f（x）=2sin2x， ∴sin2（﹣x）﹣f（﹣x）=sin2x﹣2sin2x+f（x）=﹣[sin2x﹣f（x）]， 故F（x）为奇函数， ∴F（x）在R上单调递增，∴＞F． 即＞﹣F， 故选：B． 　 5. 已知，，是圆上不同三点，它们到直线：的距离分别为，，，若，，成等比数列，则公比的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 圆的圆心(1,0) ,半径r=4,圆心到直线的距离d=5,直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大距离为9,最小距离为1,所以当  时,其公比有最大值为. 6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O,F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为（　　） A．                B．     C． D． 参考答案： C 由题意可得，设右焦点为，由知，，，∴，∴，即．在△中，由勾股定理，得， 由椭圆定义，得，从而，得， 于是，所以椭圆的方程为，故选C． 7. 下列命题中的假命题是（    ） A． B．， C．，当时，恒有 D．，使函数的图像关于轴对称 参考答案： C. 试题分析：A：根据指数函数的性质，可知A正确； B：当时，有，，显然成立，当时，令，∴，∴在上单调递增，∴，综上，不等式对于任意恒成立，B正确； C：∵为底数大于的指数函数，为幂函数，∴当时，，∴不存在满足条件的，C错误；D：取，可知函数的图象关于轴对称，D正确. 考点：函数的性质. 8. 已知i是虚数单位，复数=(     ) A．i﹣2 B．2+i C．﹣2 D．2 参考答案： D 【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：复数=﹣i=2+i﹣i=2． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 9. 已知集合A={x∈N*|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|3≤x≤6}，则A∩B=（　　） A．{1，2，3，4，5} B．{3，4，5} C．{3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，6} 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】解不等式求出集合A，根据交集的定义写出A∩B． 【解答】解：集合A={x∈N*|x2﹣5x﹣6＜0} ={x∈N*|﹣1＜x＜6} ={1，2，3，4，5}， 集合B={x|3≤x≤6}， 所以A∩B={3，4，5}． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次不等式与交集的基本运算问题，是基础题． 10. 已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，?的值为（　　） A．2 B． C． D．3 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大， 则P到圆心的距离最小即可， 由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1， 设∠APB=α，则sin=，= 此时cosα=，?==． 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 有下列说法： ①是数列的前n项和，若，则数列是等差数列； ②若实数x,y满足,则的最小值是； ③在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若，则 为等腰直角三角形； ④中，“”是“”的充要条件. 其中正确的有             .（填上所有正确命题的序号） 参考答案： ②④ 略 12. 已知函数 ，若 ，则实数x的取值范围___________. 参考答案： 略 13. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为        升。 参考答案：   本题借以古籍考查等差数列的基础知识.同时也考查了理解能力、应用能力和转化与化归的数学思想.设竹子从上到下的容积依次为，由题意可得，设等差数列的公差为d，则有①，②，由①②可得，所以. 14. 已知函数的图象经过点，则不等式的解为_________; 参考答案： 15. 若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为    .                 参考答案： 3 16. 某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　   　． 参考答案： 300 【考点】分层抽样方法． 【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数． 【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本， 其中高一年级抽20人，高三年级抽10人， ∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15， ∵高级中学共有900名学生， ∴每个个体被抽到的概率是= ∴该校高二年级学生人数为=300， 故答案为：300． 　 17. 对于函数，给出下列命题：①f (x)有最小值；②当a=0时，f (x)的值域为R；③当a>0时，f (x)在区间上有反函数；④若f (x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围是. 上述命题中正确的是         。(填上所有正确命题序号) . 参考答案： ②③ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，，点在棱上，且． （1）求证：； （2）试在线段上确定一点，使得平面，并给出证明．          参考答案： （1）在直三棱柱中， 平面， 又，平面， 所以，， 又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以，而，平面，  所以平面， 又平面，所以；                                             （2）当时，平面，下证之：               连结，，在△中，由，得，，又在平面中，易得， 所以，  又平面，平面，所以平面．       19. 已知锐角的三个内角所对的边分别为.已知. (1)求角的大小。(2)求的取值范围。 参考答案： 解：（1）由正弦定理可知 ………………2分 即。                             由余弦定理得                  ………………4分    所以                                            ………………5分 （2） ，故 所以 ==             …………………8分      因为锐角三角形，所以                                     …………………10分 的取值范围为  略 20. 如图，在多面体ABCDEF中，，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形. （1）求证：四边形CDFE为矩形； （2）若平面ABEF⊥平面ABCD，，，，求多面体ABCDEF的体积. 参考答案： （1）见证明；（2） 【分析】 （1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到且，由此证得四边形为平行四边形. 分别取，的中点，，连接，通过证明四点共面，且，且相交，由此证得平面，从而证得,由此证得四边形为矩形.（2）连结，，作，垂足为，则.先证明平面，然后证明平面，由此求得点到平面的距离、点到平面的距离，分别求得和的体积，由此求得多面体的体积. 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是两个全等的等腰梯形， ∴且，∴四边形为平行四边形. 分别取，的中点，. ∵，为的中点，∴，同理，∴. ∵为的中点，为的中点，∵，且. ∴，，，四点共面，且四边形是以，为底的梯形. ∵，，且，是平面内的相交线，∴平面. ∵平面，∴，又，∴. ∴四边形为矩形. （2）解：连结，，作，垂足为，则. ∵，，∴. 在中，. ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面，∴点到平面的距离为2，同理，点到平面的距离为2， 则，； ，. 故多面体的体积为. 【点睛】本小题主要考查证明一个四边形为矩形的方法，考查四点共面的证明，考查线面平行的证明，考查面面垂直的性质定理，考查分割法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，综合性较强，属于中档题. 21. 已知双曲线左右两焦点为F1，F2，P是右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，． （1）当时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率e的取值范围； （3）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程． 参考答案： 解：由相似三角形知，，， ∴2a2λ+b2λ=b2，2a2λ=b2（1﹣λ），． （1）当时，，∴a=b，y=±x． （2） =，在上单调递增函数． ∴时，e2最大3，时，e2最小， ∴，