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四川省绵阳市金孔中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且,,,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为( )
A. 36π B. 16π C. 12π D.
参考答案:
B
【分析】
根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形,根据棱锥的体积求出到平面的距离,利用勾股定理计算球的半径,得出球的面积.
【详解】由余弦定理得,解得,
,即.
为平面所在球截面的直径.
作平面,则为的中点,
,
.
.
.
故选:B.
【点睛】本题考查了球与棱锥的关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,判断的形状是关键.
2. .函数,则( )
A. 为函数f(x)的极大值点
B. 为函数f(x)的极小值点
C. 为函数f(x)的极大值点
D. 为函数f(x)的极小值点
参考答案:
A
,故当时函数单调递增,当时,函数单调递减,故为函数的极大值点.
3. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过点P(x,y)引圆C:的切线,则此切线长等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
由于点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,得x,y满足x+2y=3,又2x+4y=2x+22y≥2=4,取得最小值时x=2y,此时点P的坐标为.由于点P到圆心C,的距离为d= =,而圆C的半径为r=,则切线长为= =,故选C.
4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是 ( )
A.90° B.45° C.30° D.60°
参考答案:
C
略
5. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围为( )
参考答案:
B
略
6. 方程(2x+3y-1)( -1)=0表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线
参考答案:
D
略
7. 下面说法正确的有:(1)演绎推理是由一般到特殊的推理;(2)演绎推理得到的结论一定是正确的;(3)演绎推理一般模式是“三段论”形式;(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关
A.1个 B、2个 C、3个 D、4个
参考答案:
C
略
8. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
参考答案:
D
【考点】椭圆的定义.
【专题】计算题.
【分析】先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式,求得k的范围.
【解答】解:∵方程x2+ky2=2,即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0<k<1
故选D.
【点评】本题主要考查了椭圆的定义,属基础题.
9. 过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 若实数满足则的取值范围是 ( )
A. B.[ C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{ a n }满足条件a1 = –2 , a n + 1 =2 + , 则a 5 =
参考答案:
12. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx在区间[﹣1,1)、(1,3]内各有一个极值点,则a﹣4b的取值范围是 .
参考答案:
(﹣16,10]
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】求导函数,利用f(x)的两个极值点分别是x1,x2,x1∈[﹣1,1),x2∈(1,3],建立不等式,利用平面区域,即可求a﹣4b的取值范围.
【解答】解:由题意,f′(x)=x2+ax+b,
∵f(x)的两个极值点分别是x1,x2,
x1∈(﹣1,1),x2∈(1,3),
∴,
对应的平面区域如图所示:
令z=a﹣4b,得:b=a﹣z,
平移直线b=b=a﹣z,
显然直线过A(﹣4,3)时,z最小,最小值是﹣16,
过B(﹣2,﹣3)时,z最大,最大值是10,
故答案为:(﹣16,10].
13. 已知函数的定义域为,集合,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
14. 数列{}的前n项和为,若 。
参考答案:
15. 已知椭圆的左右焦点分别为、,经过的直线交椭圆于、两点,则△的周长为 .
参考答案:
13
16. 设是公差不为零的等差数列的前n项和,若成等比数列,则
.
参考答案:
17. 一船在海面 A 处望见两灯塔 P , Q 在北偏西15°的一条直线上,该船沿东北方向航行4海里到达 B 处,望见灯塔 P 在正西方向,灯塔 Q 在西北方向,则两灯塔的距离为__________.
参考答案:
海里
如图,
在△ ABP 中, AB =4,∠ BAP =60°,∠ ABP =45°,
∴∠ APB =75°.由正弦定理得 .
又在△ ABQ 中,∠ ABQ =45°+45°=90°,∠ PAB =60°,∴ AQ =2 AB =8,于是 PQ = AQ - AP = ,
∴两灯塔间距离为 海里.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1·an=0(n≥1,n∈N),试归纳出这个数列的通项公式. (12分)
参考答案:
[解析] 由a1=1,
2a-a+a2·a1=0,得a2=.
又3a-2a+a3·a2=0,∴a3=.
又4a-3a+a4·a3=0,∴a4=.
归纳猜想an=. (12分)
略
19. 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
参考答案:
【考点】轨迹方程.
【专题】综合题;转化思想.
【分析】(1)设出AP的中点坐标,利用中点坐标公式求出P的坐标,据P在圆上,将P坐标代入圆方程,求出中点的轨迹方程.
(2)利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|,利用圆心与弦中点连线垂直弦,利用勾股定理得到
|OP|2=|ON|2+|PN|2,利用两点距离公式求出动点的轨迹方程.
【解答】解:(1)设AP中点为M(x,y),
由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x﹣2,2y)
∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x﹣2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x﹣1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0.
【点评】本题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程.
20. 已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围
参考答案:
解:(1) …………1分
由,
得 ………………4分
,函数的单调区间如下表:
-
极大值
ˉ
极小值
-
所以函数的递增区间是与,递减区间是; ……7分
(2),不等式恒成立 即
由(1)知
当时,为极大值,而, …………10分
则为最大值,要使恒成立, …………11分
则只需要,得 ……………14分
略
21. 若.
(1)指出函数的单调递增区间;
(2)求在的最大值和最小值.
参考答案:
(1)在,递增;(2),
【分析】
(1)先对函数求导,利用导数的方法研究函数单调性,即可得出结果;
(2)根据(1)的结果,得到函数单调性,进而可求出其最值.
【详解】(1)因为
所以,
由可得或;
由可得;
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
故函数的单调递增区间为,;
(2)因为,
所以由(1)可得,在上单调递减,在上单调递增;
因此,又,,
所以.
【点睛】本题主要考查导数的应用,通常先对函数求导,用导数的方法研究函数单调性,最值等,属于常考题型.
22. (本题满分16分)
已知函数为实常数。
(1)若函数在上是增函数,求的取值范围;
(2)求函数在上的最小值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围。
参考答案:
(1),所以………………1分
由题意,恒成立,
即对恒成立,故………………………………4分
(2),当,
①若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时. ………………………5分
②若,当时,;当时,,此时是减函数; 当时,,此时是增函数.故 .………………………7分
③若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数 在上是减函数,此时.……………………9分
综上可知,当时,的最小值为1;
当时,的最小值为;
当时,的最小值为,………………………………………10分
(3)不等式, 可化为.
∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,
因而()……………………………………………………………12分
令(),又,………………………14分
当时,,,
从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,
故的最小值为,所以a的取值范围是. ………………………16分
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