四川省绵阳市金孔中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

四川省绵阳市金孔中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且，，，三棱锥O-ABC的体积为，则球O的表面积为(    ) A. 36π B. 16π C. 12π D. 参考答案： B 【分析】 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积． 【详解】由余弦定理得，解得， ，即． 为平面所在球截面的直径． 作平面，则为的中点， ， ． ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键． 2. .函数，则（　　） A. 为函数f(x)的极大值点 B. 为函数f(x)的极小值点 C. 为函数f(x)的极大值点 D. 为函数f(x)的极小值点 参考答案： A ，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点． 3. 已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：的切线，则此切线长等于(　　) A.                                                               B. C.                                                             D. 参考答案： C 由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为.由于点P到圆心C，的距离为d＝ ＝，而圆C的半径为r＝，则切线长为＝ ＝，故选C. 4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是           （    ） A．90°         B．45°          C．30°          D．60° 参考答案： C 略 5. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（      ）                             参考答案： B 略 6. 方程(2x＋3y－1)( －1)＝0表示的曲线是(　　) A．两条直线   B．两条射线   C．两条线段  D．一条直线和一条射线 参考答案： D 略 7. 下面说法正确的有:（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 A．1个      B、2个      C、3个    D、4个 参考答案： C 略 8. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 参考答案： D 【考点】椭圆的定义． 【专题】计算题． 【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围． 【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ∴故0＜k＜1 故选D． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题． 9. 过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 (    ) A.         B.          C.            D. 参考答案： A 10. 若实数满足则的取值范围是     （   ）   A.             B.[         C.        D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{ a n }满足条件a1 = –2 , a n + 1 =2 + , 则a 5 =             参考答案：       12. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是　　． 参考答案： （﹣16，10] 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求导函数，利用f（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1∈[﹣1，1），x2∈（1，3]，建立不等式，利用平面区域，即可求a﹣4b的取值范围． 【解答】解：由题意，f′（x）=x2+ax+b， ∵f（x）的两个极值点分别是x1，x2， x1∈（﹣1，1），x2∈（1，3）， ∴， 对应的平面区域如图所示： 令z=a﹣4b，得：b=a﹣z， 平移直线b=b=a﹣z， 显然直线过A（﹣4，3）时，z最小，最小值是﹣16， 过B（﹣2，﹣3）时，z最大，最大值是10， 故答案为：（﹣16，10]． 13. 已知函数的定义域为,集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是       ▲       . 参考答案： 14. 数列{}的前n项和为，若             。 参考答案： 15. 已知椭圆的左右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于、两点，则△的周长为                 ． 参考答案： 13 16. 设是公差不为零的等差数列的前ｎ项和，若成等比数列，则       ． 参考答案： 17. 一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________． 参考答案： 海里 如图， 在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°， ∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ． 又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ， ∴两灯塔间距离为 海里． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的通项公式．       （12分） 参考答案： [解析]　由a1＝1， 2a－a＋a2·a1＝0，得a2＝. 又3a－2a＋a3·a2＝0，∴a3＝. 又4a－3a＋a4·a3＝0，∴a4＝. 归纳猜想an＝.              （12分） 略 19. 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点． （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【专题】综合题；转化思想． 【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程． （2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到 |OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程． 【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y）， 由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y） ∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4． 故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1． （2）设PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|， 设O为坐标原点，则ON⊥PQ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4． 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0． 【点评】本题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程． 20. 已知函数在与时都取得极值 （1）求的值与函数的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围    参考答案： 解：（1）                   …………1分 由， 得                                                ………………4分 ，函数的单调区间如下表：   - 极大值 ˉ 极小值 - 所以函数的递增区间是与，递减区间是；       ……7分 （2），不等式恒成立 即 由（1）知 当时，为极大值，而，            …………10分 则为最大值，要使恒成立，           …………11分 则只需要，得                     ……………14分   略 21. 若. （1）指出函数的单调递增区间； （2）求在的最大值和最小值. 参考答案： （1）在，递增；（2）， 【分析】 （1）先对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，即可得出结果； （2）根据（1）的结果，得到函数单调性，进而可求出其最值. 【详解】（1）因为 所以， 由可得或； 由可得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 故函数的单调递增区间为，； （2）因为， 所以由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增； 因此，又，， 所以. 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常先对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.   22. （本题满分16分） 已知函数为实常数。 (1)若函数在上是增函数，求的取值范围； (2)求函数在上的最小值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围。 参考答案： （1），所以………………1分 由题意，恒成立， 即对恒成立，故………………………………4分 （2），当， ①若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　………………………5分 ②若，当时，；当时，，此时是减函数； 当时，，此时是增函数．故    ．………………………7分 ③若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数 在上是减函数，此时．……………………9分 综上可知，当时，的最小值为1； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为，………………………………………10分 （3）不等式， 可化为． ∵, ∴且等号不能同时取，所以，即， 因而（）……………………………………………………………12分 令（），又，………………………14分 当时，，， 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数， 故的最小值为，所以a的取值范围是． ………………………16分