四川省广安市华蓥第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析

四川省广安市华蓥第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为正数，且，则下列各式中正确的一个是 （     ） A.        B.       C.           D. 参考答案： B 2. 下列函数求导运算正确的有（　　） ①（3x）′=3xlog3e； ②（log2x）′=； ③（ex）′=ex； ④（）′=x； ⑤（x?ex）=ex（1+x） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】导数的运算． 【分析】根据（ax）′=axlna，（logax）′=，（lnx）′=即可作出判断． 【解答】解：①（3x）′=3xln3，故错误； ②（log2x）′=，故正确； ③（ex）'=ex，故正确； ④（）′=﹣，故错误； ⑤（x?ex）′=ex+x?ex，故正确． 故选：C． 3. 著名的狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.现有如下四个命题： ①；                       ②函数为奇函数； ③，恒有；   ④，恒有. 其中真命题的个数是（   ） A．1                  B．2                 C．3              D．4 参考答案： A 对于①，时，，，故①错误； 对于②，时，， 时，， 不是奇函数，故②错误； 对③，时，， ， 时，， ，故③正确. 对④，时，， ，④错误， 故真命题个数为1，故选A.   4. 设则二项式的展开式的常数项是（   ） A.24 B.  C. 48 D. 参考答案： A 略 5. 在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为，sinA、sinB、sinC成等比数列，且，则cosB的值为 　 A． B． C． D． 参考答案： B 6. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是（    ）                                  A．              B．              C．              D． 参考答案： D 略 7. 圆的圆心的极坐标是(   ) A、　　　　 B、　　　　 C、　　　 D、 参考答案： A 8. 在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（    ）   （A）4+8i    (B)8+2i    （C）2+4i         (D)4+i 参考答案： C 9. 如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形， 俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为（　 ） A．           B．           C．           D． 参考答案： D 10. 若不等式x+px+q＜0的解集为（-）则不等式qx+px+1＞0的解集为（  ） A．（-3,2）     B．（-2,3）     C．（-）   D．R 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人都恰好命中2次的概率是　　（结果保留到小数点后面三位）． 参考答案： 0.169 【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式求解． 【解答】解：甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7， 每人投3次，两人都恰好命中2次的概率是： p=（）?（）≈0.169． 故答案为：0.169． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式的合理运用． 12. 双曲线的两条渐近线的夹角为            . 参考答案： 渐近线为：    ∴夹角为： 13. 一个正三棱柱的三视图如右图所示，则该三棱柱的侧面积是         ． 参考答案： 14. 若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为               ． 参考答案： 6 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用共渐近线双曲线系方程设为x2﹣4y2=λ（λ≠0），求得λ，再求2a． 【解答】解：设所求的双曲线方程为x2﹣4y2=λ（λ≠0）， 将P（5，﹣2）代入，得λ=9， ∴x2﹣4y2=9，∴a=3，实轴长2a=6， 故答案为：6． 【点评】利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论． 15. 已知不等式，对满足的一切实数 都成立，则实数的取值范围为_________. 参考答案： 略 16. 若直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是：　　． 参考答案： m≥1，且m≠2010 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线恒过定点（0，1），由直线与椭圆恒有公共点，可得（0，1）在椭圆上或在椭圆内．代入椭圆方程，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：直线y=kx+1即为y﹣1=k（x﹣0）， 则直线恒过定点（0，1）， 由直线与椭圆恒有公共点， 可得（0，1）在椭圆上或在椭圆内． 即有+≤1， 解得m≥1，又m＞0，且m≠2010， 即有m≥1，且m≠2010， 故答案为：m≥1，且m≠2010． 【点评】本题考查椭圆和直线的位置关系，注意运用直线恒过定点，定点在椭圆上或椭圆内，是解题的关键． 17. 有下列五个命题： ①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线； ②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆； ③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件； ④“若﹣3＜m＜5，则方程+=1是椭圆”． ⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底． 其中真命题的序号是　　． 参考答案： ③⑤ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由抛物线的定义，可判断①；由椭圆的定义，可判断②；由三角形内角和定理及充分必要条件定义，即可判断③；由椭圆的标准方程，即可判断④；由空间向量的基底概念即可判断⑤． 【解答】解：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线（定点不在定直线上）距离的点的集合是抛物线， 若定点在定直线上，则动点的集合是过定点垂直于定直线的一条直线，故①错； ②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是线段F1F2， 若|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，则点的轨迹是椭圆，故②错； ③在△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则2∠B=∠A+∠C=180°﹣∠B， ∠B=60°，若∠B=60°，则2∠B=∠A+∠C=120°，即∠B﹣∠A=∠C﹣∠A， 即∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，故③正确； ④若﹣3＜m＜5，则方程+=1，m+3＞0，5﹣m＞0，若m=1，则x2+y2=4表示圆， 若m≠1，则表示椭圆，故④错； ⑤已知向量，，是空间的一个基底，即它们非零向量且不共线， 则向量+，﹣，也是空间的一个基底，故⑤正确． 故答案为：③⑤ 【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和方程，注意定义的隐含条件，同时考查等差数列的性质和三角形的内角和定理，以及空间向量的基底，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数 （Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数k与a的值； （Ⅱ）若函数有两个零点，求实数a的取值范围，并证明：. 参考答案： （1）因为，所以 又因为，所以，即……3分 （2）因为，所以，令， 则， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又当时，，当时，， 画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.……8分 由上知，，不妨设，则， 要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需， 即证，即证对恒成立， 令，则 因为，所以，所以恒成立， 则函数在的单调递减，所以， 综上所述.……12分 19. .“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：   男性 女性 合计 爱好 10     不爱好   8   合计     30   已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是. （1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？ （2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望.参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828     参考答案： （1）没有把握认为爱好运动与性别有关； （2）. 【分析】 （1）由题可算出爱好运动的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出结果； （2）典型的超几何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望. 【详解】（1）   男性 女性 合计 爱好 10 6 16 不爱好 6 8 14 合计 16 14 30     由已知数据可求得： ， 所以没有把握认为爱好运动与性别有关． （2）的取值可能为0，1，2， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2     的数学期望为 . 20. 已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）由题意可得，解得即可． （2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间上任意两个自变量的值x1，x2， 都对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|≤c，求出即可． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），∴f′（x）=3ax2+2bx﹣3． ∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，﹣2）． ∴，即，解得． ∴f（x）=x3﹣3x． （2）令f′（x）=0，解得x=±1，列表如下： 由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，且f（﹣1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=﹣2． 又f（﹣2）═﹣2，f（2）=2． ∴f