内蒙古自治区赤峰市竞技中学高二数学理期末试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市竞技中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）.（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 略 2. 以下有关命题的说法错误的是（   ） A．命题“若则x=1”的逆否命题为“若” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题 参考答案： C 3. 已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（    ） A．              B．            C．        D．  参考答案： C 4. 求证： +>2+。 参考答案： 证明：要证原不等式成立， 只需证（+）>（2+）， 即证。 ∵上式显然成立, ∴原不等式成立. 略 5. 已知数列{an}中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）. A.(3,+∞)  B.(－∞,3)  C. [3,+∞) D. (－∞,3] 参考答案： C 6. 已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案； 【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜，＞，再利用换元法求出它的最大值即可． 【解答】解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为1， 如图所示； 则==（1，1，1）， ==（0，y，1），且E在线段D′C′上移动， 当E在D′位置时，cos＜，＞===； 当E在C′位置时，cos＜，＞===为最大值． 【解法二】∵=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1）， ∴?=y+1， ||=，||=， ∴cos＜，＞==； 设t=，则t2﹣1=y2， ∴y=（1≤t≤）， ∴f（t）=?=（+）； 设sinα=，则1≥sinα≥，即≤α≤， ∴g（α）=（+sinα） =（cosα+sinα） =sin（α+）， ∴当α=时，g（α）取得最大值为=． 故选：D． 7. 已知方程和，它们所表示的曲线可能是 参考答案： B 8. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 参考答案： B 【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数． 【分析】利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可． 【解答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85， 总分又等于85×7=595．所以x=5 乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3． ∴x+y=8． 故选B． 9. 下列直线中，与直线垂直的是(    ) A.    B.     C.    D. 参考答案： C 10. 若则向量的关系是（      ） A．平行          B．重合           C．垂直           D．不确定 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是         ． 参考答案： 12. 对任意都能被14整除，则最小的自然数a＝      参考答案： a＝5 略 13. 以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆方程为_______________. 参考答案： 14. 双曲线两条渐近线的夹角为60o，该双曲线的离心率为--        . 参考答案： 15. 下图为函数的图像，其在点M（）处的切线为，与轴和直线分别交于点、，点，则面积以为自变量的函数解析式为        ，若的面积为时的点M恰好有两个，则的取值范围为       。 参考答案：  ，（此小题每空2分） 16. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则                . 参考答案： 略 17. 下列4个命题： （1）若xy=1，则x，y互为倒数的逆命题； （2）面积相等的三角形全等的否命题； （3）若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解的逆否命题； （4）若xy=0，则x=0或y=0的否定． 其中真命题　　（写出所有真命题的序号） 参考答案： （1）（2）（3） 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】（1），若x，y互为倒数，则xy=1； （2），面积不相等的三角形不全等； （3），若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解为真命题，其逆否命题为真命题； （4），若xy=0，则x=0或y=0为真命题，其命题的否定为假命题． 【解答】解：对于（1），若x，y互为倒数，则xy=1，故正确； 对于（2），面积不相等的三角形不全等，故正确； 对于（3），若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解为真命题，其逆否命题为真命题，故正确； 对于（4），若xy=0，则x=0或y=0为真命题，其命题的否定为假命题． 故答案为：（1）（2）（3） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数． （1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围； （2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】（1）解出关于￢p的不等式，求出x的范围即可；（2）根据p且q为真，得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）∵命题“?p”为真， ∴x（x﹣2）＜0， ∴0＜x＜2．　　　　          　　　　　　　 　　　　　　　　  …（7分） （2）∵命题“p且q”为真， ∴“p真”且“q真”，…（9分） 即 ∴ ∴2≤x＜3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …（14分） 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查不等式问题，是一道基础题． 　 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，，，且，，，点在上． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）证明，转化成证明平面即可。 （2）根据，可得，从而得出体积。 【详解】证明：（1）取中点，连结， 则，， 四边形为平行四边形，， 又， ， ，又，， 平面，． 解：（2），， 三棱锥的体积为： ． 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，通常转化成证明线面垂直。三棱锥体积的计算，选择不同的底对应的顶点，得到的体积相同。那么通常选择已知的高和底从而求出体积。 20. 一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球个数不少于白球个数的取法有多少种? (2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7的取法 参考答案： 解:(1)分三类:第一类有4个红球,则有种取法; 第二类有3个红球,则有种取法; 第三类有2个红球,则有种取法;各根据加法原理共有1+24+90=115种不同的取法. (2)若总分不少于7,则可以取4红1白,或3红2白,或2红3白,共3类,取法总数为 种不同的取法. 略 21. （12分）. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为．过的直线交于，两点，且的周长为16； （2）焦点在轴上，焦距为10且点在其渐近线上的双曲线方程. 参考答案： 22. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：     (1) 试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (2) 根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题： ① 能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75％？ ② 如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由． 参考答案： (1)众数为55．平均数为40．(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．②选B款订餐软件． ⑴依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55(分钟)． 使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为 15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40 (分钟)．……………5分 ⑵①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为 故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．……………8分 ②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为 ， 所以选B款订餐软件．……………………12分 (注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分，如以下回答也符合要求．根据样本估计总体的思想可知，使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”在30分钟内的概率为0．4，使用B款订餐软件的商家的“平均送达时间”在30分钟内的概率为0．24，所以可选A款订餐软件．)