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云南省昆明市西街口中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列流程图的基本符号中,表示判断的是( )
参考答案:
D
2. 设f(x)=,则f(x)dx等于( )
A.﹣cos1 B.﹣cos1 C. +cos1 D. +cos1
参考答案:
B
【考点】定积分.
【分析】根据分段函数的积分公式和性质,即可得到结论.
【解答】解: f(x)dx=sinxdx+x2dx=﹣cosx|+|=1﹣cos1+=﹣cos1,
故选:B.
3. 设的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为S,若P+S=272,则n为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
参考答案:
A
略
4. 若函数是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 若两条直线(a2+a-6)x+12y-3=0与(a-1)x-(a-2)y+4-a=0互相垂直,则a的值等于( ).
A.3 B.3或5 C.3或-5或2 D.-5
参考答案:
C
由两条直线垂直或知,
即,
即,
解得,,.
故选.
6. 已知定义在R上的奇函数满足,当时, ,且,则( )
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
参考答案:
C
【分析】
根据题意,结合函数的奇偶性与对称性可得函数f(x)是周期为8的周期函数,由函数的奇偶性可得f(﹣2)=8,结合函数的解析式求出a的值,进而求出f(﹣1)的值,进而结合函数的奇偶性与对称性分析可得答案.
【详解】根据题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),
若函数f(x)满足f(x+2)=f(2﹣x),则有f(﹣x)=f(x+4),
则有f(x+4)=﹣f(x),变形可得f(x+8)=﹣f(x+4)=f(x),
则函数f(x)是周期为8的周期函数,
又由函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=﹣8,则f(﹣2)=8,
若当﹣2≤x<0时,f(x)=ax﹣1(a>0),且f(﹣2)=a﹣2﹣1=8,解可得a,
则f(﹣1)=()﹣1﹣1=2,
则f(1)=﹣2,
又由函数f(x)是周期为8的周期函数,则f(2019)=f(3+2016)=f(3)=f(1)=﹣2;
故选:C.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用,关键是分析函数的周期性,属于中档题.
7. 设:函数在上是减函数,:,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
8. 已知,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】63:导数的运算.
【分析】根据题意,对函数求导,计算可得,将代入计算可得答案.
【解答】解:根据题意,,
则其导数,
则;
故选:.
9. 在同一坐标系中,将曲线变为曲线的伸缩变换是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点(,0)分成3:1的两段,则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.
参考答案:
略
12. 抛物线在点处的切线方程是 ;
参考答案:
略
13. 已知三角形的三个顶点,,.则
(1)过点的中线长为 ;
(2)过点的中线长为 ;
(3)过点的中线长为 .
参考答案:
;;
14. 两平行直线:3x+4y-2=0与:6x+8y-5=0之间的距离为 .
参考答案:
略
15. 不等式恒成立,则实数的取值范围为 ▲ .
参考答案:
略
16. (原创)如图所示的“赵爽弦图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是______________。
参考答案:
17. 命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是 .
参考答案:
“若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1”
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】先否定原命题的题设做结论,再否定原命题的结论做题设,就得到原命题的逆否命题.
【解答】解:∵“x2<1”的否定为“x2≥1”.“﹣1<x<1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”.
∴命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是:“若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1”.
故答案:若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(2)若=2,求直线l的方程.
参考答案:
(1)由题意可知,F(1,0).∵直线l的斜率为1,∴直线l的方程为y=x-1,
联立,消去y得x2-6x+1=0 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4,∴所求圆的圆心坐标为(3,2),
半径r=+1=4,所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 ks5u
(2)由题意可知直线l的斜率必存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x-1).
由得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由=2,得(x1-1,y1)=2(1-x2,-y2)
∴y1=-2y2③ 由①②③得k2=8,k=±2 ∴直线l的方程为y=±2(x-1).
19. 在平面直角坐标系xOy中,E,F两点的坐标分别为(1,0)、(﹣1,0),动点G满足:直线GE与直线FG的斜率之积为﹣4.动点G的轨迹与过点C(0,﹣1)且斜率为k的直线交于A,B两点.
(Ⅰ)求动点G的轨迹方程;
(Ⅱ)若线段AB中点的横坐标为4 求k的值.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质;轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)设动点G的坐标(x,y),求出直线EG的斜率,直线FG的斜率,利用已知条件求解即可.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1,消y整理可得(k2+4)x2﹣2kx﹣3=0,由此利用韦达定理和中点坐标公式即可求出.
【解答】解:(Ⅰ)已知E(1,0),F(﹣1,0),设动点G的坐标(x,y),
∴直线EG的斜率k1=,直线FG的斜率k2=,(y≠0),
∵k1?k1=﹣4,
∴?=﹣4,
即x2+=1,(y≠0),
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1,
消y整理可得(k2+4)x2﹣2kx﹣3=0,
则△=4k2+12(4+k2)>0,
则x1+x2=,
由=(x1+x2)=,
解得k=2.
20. 将十进制数30化为二进制.
参考答案:
把一个十进制的数转换为相应的二进制数,用2反复去除欲被转换的十进制数30,直到商是0为止,所得余数(从末位读起)就是该十进制数30的二进制表示. 所以
21. (本大题满分12分)如图,在直角坐标系xOy中,过点P(2,0)的直线l交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点。
(1)求x1x2与y1y2的值;
(2)以线段MN为直径作圆H(H为圆心),证明抛物线的顶点在圆H的圆周上。
参考答案:
(I)证明:
因为直线L不可能是x轴,所以设L的方程为,将其代入
消去x可得:
点M,N的纵坐标与是上述方程的两个根,故
由,相乘得
所以
(II)解:设直线OM,ON的斜率分别为k1,k2
则
因此
所以OM⊥ON
∴点O在圆H的圆周上
22. (本题满分13分)
在数列中,,且前项的算术平均数等于第项的倍.
(1)写出此数列的前项;
(2)归纳猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.
参考答案:
解:(1)由已知,,分别取,得,,
,
;
所以数列的前5项是:,,,,;
(2)由(1)中的分析可以猜想.
下面用数学归纳法证明:
①当时,猜想显然成立.
②假设当时猜想成立,即.
那么由已知,得,
即.所以,
即,又由归纳假设,得,
所以,即当时,公式也成立.
当①和②知,对一切,都有成立.
略
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