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上海市嘉定区马陆中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知平面?,?,直线l,m,且有l⊥?,m??,则下列四个命题正确的个数为( ).
①若?∥?,则l⊥m; ②若l∥m,则l∥?;
③若?⊥?,则l∥m; ④若l⊥m,则l⊥?;
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
参考答案:
A
2. 已知,是第四象限角,则( )
A. -7 B. C. D. 7
参考答案:
A
【分析】
通过和差公式变形,然后可直接得到答案.
【详解】根据题意,是第四象限角,故
,而,故答案为A.
【点睛】本题主要考查和差公式的运用,难度不大.
3. “”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
4. 设是一个多项式函数,在上下列说法正确的是( )
A.的极值点一定是最值点 B.的最值点一定是极值点
C.在上可能没有极值点 D.在上可能没有最值点
参考答案:
C
略
5. 设f(x)=cos2tdt,则f(f())=
A.1 B.sin 1 C.sin 2 D.2sin 4
参考答案:
C
【考点】67:定积分;3T:函数的值.
【分析】先根据定积分的计算法则,求出f(x),继而带值求出函数值.
【解答】解:f(x)=cos2tdt=sin2t|= [sin2x﹣sin(﹣2x)]=sin2x,
∴f()=sin=1,
∴f(f())=sin2,
故选:C.
6. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图像的一条对称轴为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
7. 下列命题中,正确的命题有( )
①命题“,使得”的否定是“,都有”;
②设p、q为简单命题,若“”为假命题,则“为真命题”;
③“”是“函数在内有极小值”的必要条件;
④命题“,使得”为假命题时,实数的取值范围是。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
D
略
8. “”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
9. 已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为
A. B.
C.与相交不垂直 D.
参考答案:
D
10. 已知 则的值为
A. B. 0 C.1 D. 2
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线的焦点为,抛物线的准线与轴的交点为,点A在抛物线上且,则的面积是 .
参考答案:
8
略
12. 数列……的前100项的和等于 。
参考答案:
略
13. 若函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
14. 一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发,走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f(P),那么d的最大值是 .
参考答案:
【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.
【分析】欲求d的最大值,先将起始点定在正方体的一个顶点A点,再将正方体展开,找到6个面的中心点,经观察可知蚂蚁爬行最短程为6个正方体的棱长+展开图形中半个正方形对角线的长.
【解答】解:欲求d的最大值,先将起始点定在正方体的一个顶点A点,
正方体展开图形为:
则蚂蚁爬行最短程的最大值S=5+=.
故答案为:..
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解题关键是找到A点在正方体展开图形中的对应点及6个面的中心点,有一定的难度.
15. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765),若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列,则第20个数为 .
参考答案:
65431
略
16. 不等式的解集为_______.
参考答案:
【分析】
原不等式等价于,解之即可.
【详解】原不等式等价于,解得或.
所以不等式的解集为
【点睛】本题考查分式不等式的解法,属基础题.
17. 设复数z满足(i为虚数单位),则z的模为________.
参考答案:
1.
【分析】
根据复数的运算可得,再利用模的计算公式,即可求解.
【详解】由题意,复数满足,则,
则的模为.
【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算,其中解答中熟记复数的运算法则,以及复数模的计算公式是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设与是函数的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断是函数的极大值点还是极小值点,并求相应极值.
参考答案:
19. (本小题满分12分)已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6,
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。
参考答案:
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② 7分
把②代入①得化简并整理得
∴ 10分
又 12分
20. (本题满分12分)
抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,并且这条准线垂直于x轴,又抛物线与双曲线交于点P( ,),求抛物线和双曲线的方程.
参考答案:
21. 某工厂有工人1000名,为了提高工人的生产技能,特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本,调查他们的生产能力(生产能力是指工人一天加工的零件数),得到A类工人生产能力的茎叶图(图1),B类工人生产能力的频率分布直方图(图2).
(1)在样本中求A类工人生产能力的中位数,并估计B类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若规定生产能力在[130,150]内为能力优秀,现以样本中频率作为概率,从1000名工人中按分层抽样共抽取n名工人进行调查,请估计这n名工人中的各类人数,完成下面的2×2列联表.
能力与培训时间列联表
短期培训
长期培训
合计
能力优秀
能力不优秀
合计
若研究得到在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关,则n的最小值为多少?
参考数据:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:,其中.
参考答案:
解:(Ⅰ)由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123,由频率分布直方图,估计类工人生产能力的平均数为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及所给数据得能力与培训的列联表如下:
由上表得
,
解得,又人数必须取整,
∴n的最小值为360.
22. 已知两点F1(﹣1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点,若,求直线m的斜率.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(I)由题意可知:|F1F2|=2c=2,则c=1,2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a,则a=2,b2=a2﹣c2=3,即可写出椭圆的方程;
(II)设直线m方程为x=ty+1,代入椭圆方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得t的值,求得直线m的斜率.
【解答】解:(I)由题意设椭圆的方程:(a>b>0),
由|F1F2|=2c=2,则c=1,
|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.即2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a,则a=2,
b2=a2﹣c2=3,
椭圆C的方程;…
( II)由题意知直线m的斜率不为0,且经过右焦点(1,0),故设直线m方程为x=ty+1
代入,得(3t2+4)y2+6yt﹣9=0
显然△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)…①…②
由,得y2=﹣2y1…③
解①②③得,
所以,直线m的斜率…
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