2022年黑龙江省绥化市直属中学高二数学理期末试题含解析

2022年黑龙江省绥化市直属中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 求出满足条件的正三角形的面积，再求出满足条件正三角形内的点到正三角形的顶点、、的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案． 【详解】满足条件的正三角形如下图所示： 其中正三角形的面积， 满足到正三角形的顶点、、的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部 分所示，则， 则使取到的点到三个顶点、、的距离都不小于2的概率是： ， 故选：． 【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关. 2. 现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有（    ）种方法. A. 240 B. 360 C. 420 D. 480 参考答案： C 【分析】 利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色. 【详解】当顶点A,C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3种颜色可供选择，此时C只能与A同色，1种颜色可选，点D就有3种颜色可选，共有种； 当顶点A,C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3种颜色可供选择，此时C与A不同色，2种颜色可选，点D就有2种颜色可选，共有种；综上可得共有种，故选C. 【点睛】本题主要考查基本计数原理，两个原理使用时要注意是分步完成某事还是分类完成某事，侧重考查逻辑推理的核心素养. 3. 在的(      ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 4. 设x，y满足约束条件，且的最小值为7，则a=（    ） A．－5         B．3       C. －5或3         D．5或－3 参考答案： B 根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，z有最小值：，则，解得：;当时，z无最小值．故选B   5. 若，则“”是“”的(    ) 条件    A.充分而不必要   B.必要而不充分     C.充要    D.既不充分又不必要 参考答案： A 略 6. 将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（    ）．  A．    B．  C．  D． 参考答案： B 略 7. 抛物线x2=4y的焦点为F，点A的坐标是(－1, 8)，P是抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（    ）                                                                A.8            B.9         C.           D.10         参考答案： B 略 8. 已知，则           （   ） A、2             B、-2             C、0             D、 参考答案： B 9. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（     ） A．             B．            C．            D．  参考答案： D 10. 若，则双曲线与有（   ） 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：   感染 未感染 总计 注射 10 40 50 未注射 20 30 50 总计 30 70 100   参照附表，在犯错误的概率最多不超过____的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系． 【参考公式：.】 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828     参考答案： 0.05 分析：直接利用独立性检验公式计算即得解. 详解：由题得, 所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系． 故答案为：0.05. 点睛：本题主要考查独立性检验和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力. 12. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________． 参考答案： 略 13. ，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是    . （1），；（2）， （3），，共面 ；（4），，共点，，共面 参考答案： 1 14. 过点P（1,2）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程_____________ 参考答案： 或 15. 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为 ▲  ． 参考答案： 1 16. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为         ．外接球半径为       ． 参考答案： ；。 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积． 【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2， 三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1， ∴几何体的体积V=××2×1×2=． 以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0） ∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，① x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，② （x+1）2+（y﹣）2+z2=x2+y2+z2，③ ∴x=1，y=，z=1， ∴球心的坐标是（1，，1）， ∴球的半径是， 故答案为：，． 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题． 17. 若内切圆半径为，三边长为，则的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为，四个面的面积为，，，，则四面体的体积为                          ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数 ，若曲线在点处的切线与y轴垂直。 （1）求a的值； （2）求函数f(x)的极大值和极小值. 参考答案： （1）；（2）， 【分析】 （1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用切线与 轴垂直可得a； （2）令0，解得 或，列出表格，即可得出函数的单调性极值． 【详解】（1）， 由题可知， ，即， 解得. （2）由（1）知，因此，，  令  解得 或 列表: 当时，；当时，. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 19. （本小题满分12分）已知：实数满足； ：实数满足． （Ⅰ）在区间上任取一个实数，求事件“为真命题” 发生的概率； （Ⅱ）若数对中， ，， 求事件“” 发生的概率. 参考答案： （Ⅰ）为真命题； 为真命题；……2分 又 为真命题ks5u ∴为真命题或为真命题，即…………4分ks5u ∴区间的长度为9，区间的长度为6，由几何概型知 故在区间上任取一个实数， 事件 “为真命题” 发生的概率为…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 、１、２, 、-１、０、１， 则基本事件共有12个：（0,-2）,（0,-1），（0,0），（0,1），（1,-2），（1,-１），（1,0），（1,1），（2, -2），（2,-１），（2,0），（2,１）．…………8分 又“满足” ， ∴符合“”的基本事件共有3个： （0,0），（0,1），（1,1）．…………10分 由古典概型知 故事件“”的发生概率为．　………12分 20. 已知命题:对数有意义；:关于实数的不等式 （1）若命题为真，求实数的取值范围 （2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围 参考答案： ， 略 21. 一个四棱椎的三视图如图所示： （I）求证：PA⊥BD； （II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD； （2）假设存在点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q﹣AC﹣D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得=． 【解答】解：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形 ∴四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD， 连接AC、BD交于点O，连接PO．  … ∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PO， 又∵BD⊥AC，PO、AC是平面PAC内的相交直线 ∴BD⊥平面PAC， 结合PA?平面PAC，得BD⊥PA．… （II）假设存在点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30° ∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO是平面PBD内的相交直线 ∴AC⊥平面PBD ∴AC⊥OQ，可得∠DOQ为二面角Q﹣AC﹣D的平面角，…（8分） 由三视图可知，BC=2，PA==2， 在Rt△POD中，PD=2，OD=，则∠PDO=60°， 在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．…（10分） 结合OD=，得QD=ODcos60°=．可得==． 因此存在PD上点Q，当DQ=PD时，二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°…（12分） 【点评】本题给出四棱锥的三视图，要求将其还原成直观图并探索二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质和对三视图的理解等知识，属于中档题． 22. 已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，试问x轴上是否存在异于M的定点P，使PM平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.   参考答案： （1）由，得 又，知是等腰直角三角形，从而， 所以椭圆的方程是. （2）设，，直线的方程为 由得, 所以  ①，② 若平分，则直线的倾斜角互补， 所以, 设，则有， 将，代入上式，整理得， 将①②代入得，由于上式对任意实数都成立，所以. 综上，存在定点