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湖南省娄底市开源中学2022-2023学年高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.不存在,
参考答案:
A
2. 抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 将一边长为1和的长方形ABCD沿AC折成直二面角B-AC-D,若A、B、C、D在同一球面上,则V球:VA-BCD=( )
A. B. C.16p D.8p
参考答案:
A
4. 已知PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 某年高考中,某省10万考生在满分为150分的数学考试中,成绩分布近似服从正态分布,则分数位于区间(130,150]分的考生人数近似为( )
(已知若,则, , )
A. 1140 B. 1075 C. 2280 D. 2150
参考答案:
C
【分析】
先计算区间(110,130)概率,再用0.5减得区间(130,150)概率,乘以总人数得结果.
【详解】由题意得,
因此,
所以,
即分数位于区间分的考生人数近似为,选C.
【点睛】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.
6. 已知异面直线a,b所成的角为90°,直线AB与a,b均垂直,且垂足分别为A,B,若动点P在直线a上运动,动点Q在直线b上运动,,则线段PQ的中点M的轨迹所围成的平面区域的面积是( )
A.9 B.18 C.36 D.72
参考答案:
B
7. 把方程化为以参数的参数方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知(3,1)和(﹣4,6)在直线3x﹣2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )
A.a<1或a>24 B.a=7或a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7
参考答案:
C
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【专题】计算题;转化思想.
【分析】将两点坐标分别代入直线方程中,只要异号即可.
【解答】解:因为(3,1)和(﹣4,6)在直线3x﹣2y+a=0的两侧,
所以有(3×3﹣2×1+a)[3×(﹣4)﹣2×6+a]<0,
解得﹣7<a<24
故选C.
【点评】本题考查线性规划知识的应用.一条直线把整个坐标平面分成了三部分,让其大于0的点,让其大于0的点以及让其小于0的点.
9. 已知在空间四边形ABCD中,=,=,=,则=( )
A.+﹣ B.﹣﹣ C.+﹣ D.++
参考答案:
B
【考点】空间向量的数量积运算.
【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得==()﹣,由此能求出结果.
【解答】解:∵在空间四边形ABCD中,,,,
∴==()﹣
=()﹣
=.
故选:B.
【点评】本题考查向量求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量加法法则的合理运用.
10. 如图,在长方形ABCD中,AB=,BC=1,E为线段DC上一动点,现将AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上,当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为D
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的顶点坐标为_______,渐近线方程为___________.
参考答案:
(2,0) ;(-2,0);
略
12. (5分)某产品广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x万元)
2
3
4
5
销售额y(万元)
26
39
49
54
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此预测广告费用为6万元时销售额为 _________ 万元.
参考答案:
65.5
13. 已知变量满足,则的最大值为( )
A. B. C.16 D.64
参考答案:
B
略
14. 已知函数,若,则x的取值范围为
参考答案:
略
15. 已知非零向量与满足()·=0且= ,
则△ABC的形状为___________.
参考答案:
等边三角形
16. 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴同时建立极坐标系,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),则在曲线上点到直线上点的最小距离为___________.
参考答案:
略
17. 用数学归纳法证明:“”,第一步在验证时,左边应取的式子是____.
参考答案:
1+2+3+4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求b的取值范围;
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数f(x)的导函数,由导函数的符号求得函数的单调区间,再求出函数F(x)的导函数,由b<0,可得F′(x)<0,则F(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,要使存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,需>0,求解可得b的范围;
(2)由F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,可得bx﹣ln(x+1)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=bx﹣ln(x+1),求导可得b≤0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上为减函数,而g(0)=0,不合题意;0<b<1时, =1﹣b+lnb>0,得b∈?;b≥1时,g(x)在(0,+∞)上为增函数,g(x)>g(0)=0成立,从而可得b的取值范围.
【解答】解:(1)f(x)=(2x+b)ex,f′(x)=(2x+b+2)ex,
∴当x∈(﹣∞,﹣)时,f′(x)<0,当x∈(﹣,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)的减区间为(﹣∞,﹣),增区间为(﹣,+∞).
F(x)的定义域为(0,+∞),且F′(x)=b﹣.
∵b<0,∴F′(x)<0,则F(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,
要使存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,
则>0,即b<﹣2.
∴b的取值范围是(﹣∞,﹣2);
(2)F(x+1)=b(x+1)﹣ln(x+1).
要使F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,即bx﹣ln(x+1)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)=bx﹣ln(x+1),则g′(x)=b﹣(x>0).
若b≤0,则g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上为减函数,而g(0)=0,不合题意;
若0<b<1,则当x∈(0,)时,g′(x)<0,当x∈(,+∞)时,g′(x)>0,
∴=1﹣b+lnb>0,得b∈?;
若b≥1,则,g′(x)>0在(0,+∞)恒成立,
g(x)在(0,+∞)上为增函数,g(x)>g(0)=0.
综上,b的取值范围是[1,+∞).
19. 已知点A(2, 0), B(0, 6),坐标原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且|PD|=2|BD|.已知直线l:ax+10y+84-108=0经过P, 求直线l的倾斜角
参考答案:
20. (本题满分10分)计算下列定积分
(1) (2)
参考答案:
(1) (2).
21. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a﹣c=b,sinB=sinC.
(1)求cosA的值;
(2)求cos(A+)的值.
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理得sinA﹣sinC=sinB=×sinC,即有sinA=2sinC,a=2c,b=c,从而可由余弦定理求出cosA的值;
(2)先求出sinA的值,再由两角和的余弦公式求出cos(A+)的值.
【解答】解:(1)∵a﹣c=b,sinB=sinC.
∴由正弦定理得,sinA﹣sinC=sinB=×sinC,
即有sinA=2sinC,a=2c,b=c,
由余弦定理知,cosA====.
(2)∵由(1)知,cosA=.A为三角形内角,sinA==,
∴cos(A+)=cosAcos﹣sinAsin=.
22. (本小题满分13分)
某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).
⑴求关于的函数关系式,并指出其定义域;
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米,则其腰长应在什么范围内?
⑶当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.
参考答案:
⑴,其中,,
∴ ,得, 由,得
∴; --------------------6分
⑵得∵ ∴腰长的范围是 ------10分
⑶,当并且仅当,即时等号成立.∴外周长的最小值为米,此时腰长为米。 ------13分
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