湖南省娄底市开源中学2022-2023学年高二数学文联考试卷含解析

湖南省娄底市开源中学2022-2023学年高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题“，”的否定是(   )   A.，                  B.，   C.，                D.不存在， 参考答案： A 2. 抛物线的准线方程是（    ） A．          B．         C．   D． 参考答案： B 略 3. 将一边长为1和的长方形ABCD沿AC折成直二面角B-AC-D，若A、B、C、D在同一球面上，则V球：VA-BCD=（    ） A． B． C．16p D．8p 参考答案： A 4. 已知PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（    ）     A．         B.            C.            D. 参考答案： D 5. 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间(130,150]分的考生人数近似为（   ） （已知若，则， ， ） A. 1140 B. 1075 C. 2280 D. 2150 参考答案： C 【分析】 先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果. 【详解】由题意得， 因此， 所以， 即分数位于区间分的考生人数近似为，选C. 【点睛】正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. 6. 已知异面直线a，b所成的角为90°，直线AB与a，b均垂直，且垂足分别为A，B，若动点P在直线a上运动，动点Q在直线b上运动，，则线段PQ的中点M的轨迹所围成的平面区域的面积是(    ) A.9      B.18      C.36      D.72 参考答案： B 7. 把方程化为以参数的参数方程是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： D 8. 已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（　　） A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7 参考答案： C 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．  【专题】计算题；转化思想． 【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可． 【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧， 所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0， 解得﹣7＜a＜24 故选C． 【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点． 9. 已知在空间四边形ABCD中，=，=，=，则=（　　） A．+﹣    B．﹣﹣   C．+﹣ D．++ 参考答案： B 【考点】空间向量的数量积运算． 【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得==（）﹣，由此能求出结果． 【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，， ∴==（）﹣ =（）﹣ =． 故选：B． 【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用． 　 10. 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为D  A．          B．           C．        D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的顶点坐标为_______，渐近线方程为___________. 参考答案： (2,0) ;(-2,0); 略 12. （5分）某产品广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x万元）     2     3     4     5 销售额y（万元）    26     39     49     54 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此预测广告费用为6万元时销售额为　_________　万元． 参考答案： 65.5 13. 已知变量满足，则的最大值为（    ）      A.      B.     C.16       D.64   参考答案： B 略 14. 已知函数，若，则x的取值范围为       参考答案： 略 15. 已知非零向量与满足()·=0且= ， 则△ABC的形状为___________． 参考答案： 等边三角形 16. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴同时建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则在曲线上点到直线上点的最小距离为___________. 参考答案： 略 17. 用数学归纳法证明：“”，第一步在验证时，左边应取的式子是＿＿＿＿. 参考答案： 1+2+3+4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=（2x+b）ex，F（x）=bx﹣lnx，b∈R． （1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围； （2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号求得函数的单调区间，再求出函数F（x）的导函数，由b＜0，可得F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，需＞0，求解可得b的范围； （2）由F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），求导可得b≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；0＜b＜1时， =1﹣b+lnb＞0，得b∈?；b≥1时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0成立，从而可得b的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）=（2x+b）ex，f′（x）=（2x+b+2）ex， ∴当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣），增区间为（﹣，+∞）． F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b﹣． ∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数， 要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性， 则＞0，即b＜﹣2． ∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2）； （2）F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）． 要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立， 令g（x）=bx﹣ln（x+1），则g′（x）=b﹣（x＞0）． 若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意； 若0＜b＜1，则当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0， ∴=1﹣b+lnb＞0，得b∈?； 若b≥1，则，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立， g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0． 综上，b的取值范围是[1，+∞）． 19. 已知点A(2, 0), B(0, 6)，坐标原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且|PD|=2|BD|.已知直线l:ax+10y+84-108=0经过P, 求直线l的倾斜角 参考答案： 20. (本题满分10分)计算下列定积分 （1）           （2） 参考答案： （1）  （2）. 21. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c=b，sinB=sinC． （1）求cosA的值； （2）求cos（A+）的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数；正弦定理． 【分析】（1）由正弦定理得sinA﹣sinC=sinB=×sinC，即有sinA=2sinC，a=2c，b=c，从而可由余弦定理求出cosA的值； （2）先求出sinA的值，再由两角和的余弦公式求出cos（A+）的值． 【解答】解：（1）∵a﹣c=b，sinB=sinC． ∴由正弦定理得，sinA﹣sinC=sinB=×sinC， 即有sinA=2sinC，a=2c，b=c， 由余弦定理知，cosA====． （2）∵由（1）知，cosA=．A为三角形内角，sinA==， ∴cos（A+）=cosAcos﹣sinAsin=． 22. （本小题满分13分） 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）. ⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域； ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？ ⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值. 参考答案： ⑴，其中，， ∴ ，得，    由，得 ∴；  --------------------6分 ⑵得∵ ∴腰长的范围是   ------10分 ⑶，当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。           ------13分