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2022年山西省忻州市代县聂营中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 关于x的方程有一个根为1,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
参考答案:
A
2. 若命题P:“若x+y=0,则x,y互为相反数”命题P的否命题为Q,命题Q的逆命题为R,则R是P的逆命题的-------- ---------( )
A 逆命题 B 否命题 C 逆否命题 D 原命题
参考答案:
C
3. 函数f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】3O:函数的图象.
【分析】根据函数的单调性确定f'(x)的符号即可.
【解答】解:由函数f(x)的图象可知,函数在自变量逐渐增大的过程中,函数先递增,然后递减,再递增,
当x>0时,函数单调递增,
所以导数f'(x)的符号是正,负,正,正.对应的图象为C.
故选C.
4. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 ( )
A 472 B 252 C 232 D 484
参考答案:
A
5. 在锐角三角形中,角A、B所对的边分别为a、b,若,则角A等于( )
A. B. C. D. 或
参考答案:
B
6. 由2开始的偶数数列,按下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12)…,第n组有n个数,则第n组的首项是( )
B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 设是虚数单位,则复数( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
.
故选.
8. 计算机是将信息转化为二进制数处理的,二进制即“逢二进一”如1101(2)表示二进制数,将它转化为十进制数为1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么二进制数转化为十进制数为( )
A.22017﹣1 B.22016﹣1 C.22015﹣1 D.22014﹣1
参考答案:
B
【考点】进位制.
【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列;算法和程序框图.
【分析】根据二进制与十进制的换算关系,把二进制数转化为十进制数,再用等比数列求和得出结果.
【解答】解:根据题意,二进制数转化为十进制数为
1×22015+1×22014+…+1×22+1×21+1×20
=22015+22014+…+22+2+1
=
=22016﹣1.
故选:B.
【点评】本题主要考查了二进制、等比数列的前n项和公式的应用问题,二进制转换为十进制方法:按权重相加法,即将二进制每位上的数乘以权(即该数位上的1表示2的多少次方),然后相加之和即是十进制数.
9. 如右图在一个二面角的棱上有两个点,,线段分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱, ,则这个二面角的度数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
分析四个图像,从而判断函数的性质,利用排除法求解。
【详解】由于函数的定义域为,且在上为连续函数,可排除A答案;
由于,, ,所以,可排除C答案;
当时,,故排除D答案;
故答案选B.
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用,属于中档题
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设为实数,若则的最大值是 .
参考答案:
12. 若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为________.
参考答案:
略
13. 把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵,然后,擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数,得到如图乙所示的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{an}.若an=902,则n= .
参考答案:
436
【考点】进行简单的演绎推理;数列的概念及简单表示法.
【分析】利用累加法,求出新数列每一行的第一个数的通项公式即可得到结论.
【解答】解:设新新数列每一行的第一个数构成数列{bn},
则b1=3,b2=6,b3=11,b4=18,b5=27,
则b2﹣b1=3,b3﹣b2=5,b4﹣b3=7,b5﹣b4=9,
…
bn﹣bn﹣1=2(n﹣1)+1=2n﹣1,
等式两边同时相加得bn﹣b1=3+6+…+(2n﹣1)==(n+1)(n﹣1)=n2﹣1,
即bn=b1+n2﹣1=n2+2,
假设an=902所处的行数为k行,
则由n2+2≤902,得n2≤900,
解得n≤30,
∴an=902位于第30行,而且为第30行的第1个数,
数列{an}的前29行共有1+2+3…+29=个,
则an=902位于435+1=436个,
即n=436.
故答案为:436.
14. 已知A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标是,若,则点P的坐标是 ▲ .
参考答案:
略
15. 已知,则__________.
参考答案:
令,则,.
16. 如图所示:直角梯形中,,
为中点,沿把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥,使点重合,则这个三棱锥的体积等于__________。
参考答案:
17. 已知圆C过点(1,0),且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,则圆C的标准方程为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题8分)如图所示的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)在所给直观图中连接BC′,求证:BC′∥面EFG.
参考答案:
(1)如图所示.
(3)证明:如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,
连接AD′,则AD′∥BC′.
因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,
所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.
又BC′?平面EFG,所以BC′∥面EFG.
19. (本小题满分14分)已知命题表示双曲线,命题表示椭圆.
⑴若命题为真命题,求实数的取值范围.
⑵判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件(请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个).
参考答案:
⑴命题表示双曲线为真命题,则, ……3分
∴; ……5分
⑵命题表示椭圆为真命题,, ……8分
∴或, ……10分
或
∴是的必要不充分条件. ……14分
20. 已知AB、CD为异面线段,E、F分别为AC、BD中点,
过E、F作 平面α∥AB.
(1)求证:CD∥α;
(2)若AB=4,EF=,CD=2,求AB与CD所成角的大小.
参考答案:
解(1)证明:如图4,连接AD交α于G,连接GF,
∵AB∥α,面ADB∩α=GFAB∥GF.
又∵F为BD中点,
∴G为AD中点.
又∵AC、AD相交,确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点,G为AD中点,∴EG∥CD.
…………………………………………………………6分
(2)解:由(1)证明可知:
∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=………………………………………10分
在△EGF中,由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.………12分
略
21. 已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,E上一点(3,m)到焦点的距离为4.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)过F作直线l,交抛物线E于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为﹣1,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】(Ⅰ) 法一:利用已知条件列出方程组,求解即可.
法二:利用抛物线E:y2=2px(p>0)的准线方程,由抛物线的定义列出方程,求解即可.
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)得抛物线E的焦点F(1,0)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),利用平方差法,求出线段AB中点的纵坐标为﹣1,得到直线的斜率,求出直线方程.
法二:设直线l的方程为x=my+1,联立直线与抛物线方程,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),通过线段AB中点的纵坐标为﹣1,求出m即可.
【解答】解:(Ⅰ) 法一:抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为,
由已知…
解得P=2或P=﹣14
∵P>0,∴P=2∴E的方程为y2=4x.…
法二:抛物线E:y2=2px(p>0)的准线方程为,
由抛物线的定义可知
解得p=2∴E的方程为y2=4x.…
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F(1,0)
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则…
两式相减.整理得
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴直线l的斜率…
直线l的方程为y﹣0=﹣2(x﹣1)即2x+y﹣2=0…
法二:由(1)得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F(1,0)
设直线l的方程为x=my+1
由消去x,得y2﹣4my﹣4=0
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴
解得…
直线l的方程为即2x+y﹣2=0…
22. 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为2的菱形,平面ABC⊥平面AA1C1C,∠A1AC=60°,∠BCA=90°.
(Ⅰ)求证:A1B⊥AC1;
(Ⅱ)已知点E是AB的中点,BC=AC,求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(Ⅰ)首先利用面面垂直转化成线面垂直,进一步得出线线垂直.
(Ⅱ)根据两两垂直的关系,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:取AC的中点O,连接A1O,
由于平面ABC⊥平面AA1C1C,A1O⊥AC,
所以:A1O⊥平面ABC,
所以:A1O⊥BC,
又BC⊥AC,
所以:BC⊥平面A1AC,
又AC1⊥A1C,A1C为A1B的射影,
所以:A1B⊥AC1.
(Ⅱ)以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz,
A(0,﹣1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),C1(0,2,),
则:,,
设=(x,y,z)是平面ABB1A1的法向量,
所以:,
求得:,
由E(1,0,0)
求得:,
直线EC1与平
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