2022年山西省忻州市代县聂营中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年山西省忻州市代县聂营中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形       B．直角三角形     C．锐角三角形     D．钝角三角形 参考答案： A 2. 若命题P：“若x+y=0，则x，y互为相反数”命题P的否命题为Q，命题Q的逆命题为R，则R是P的逆命题的-------- ---------（    ） A 逆命题        B 否命题               C 逆否命题          D 原命题 参考答案： C 3. 函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可． 【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增， 当x＞0时，函数单调递增， 所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C． 故选C． 4. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （  ） A  472        B 252          C  232           D  484 参考答案： A 5. 在锐角三角形中，角A、B所对的边分别为a、b，若，则角A等于(   ) A.   B.       C. D. 或 参考答案： B 6. 由2开始的偶数数列，按下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12）…，第n组有n个数，则第n组的首项是（     ）        B.     C.        D. 参考答案： D 略 7. 设是虚数单位，则复数（    ）．    A． B． C． D． 参考答案： C ． 故选． 8. 计算机是将信息转化为二进制数处理的，二进制即“逢二进一”如1101（2）表示二进制数，将它转化为十进制数为1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么二进制数转化为十进制数为（　　） A．22017﹣1 B．22016﹣1 C．22015﹣1 D．22014﹣1 参考答案： B 【考点】进位制． 【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；算法和程序框图． 【分析】根据二进制与十进制的换算关系，把二进制数转化为十进制数，再用等比数列求和得出结果． 【解答】解：根据题意，二进制数转化为十进制数为 1×22015+1×22014+…+1×22+1×21+1×20 =22015+22014+…+22+2+1 = =22016﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二进制、等比数列的前n项和公式的应用问题，二进制转换为十进制方法：按权重相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数． 9. 如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱， ，则这个二面角的度数为（     ） A．      B．            C．            D． 参考答案： B 10. 函数的图象可能是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解。 【详解】由于函数的定义域为，且在上为连续函数，可排除A答案； 由于，， ，所以，可排除C答案； 当时，，故排除D答案； 故答案选B. 【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设为实数，若则的最大值是          ． 参考答案： 12. 若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________． 参考答案： 略 13. 把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}．若an=902，则n=　　． 参考答案： 436 【考点】进行简单的演绎推理；数列的概念及简单表示法． 【分析】利用累加法，求出新数列每一行的第一个数的通项公式即可得到结论． 【解答】解：设新新数列每一行的第一个数构成数列{bn}， 则b1=3，b2=6，b3=11，b4=18，b5=27， 则b2﹣b1=3，b3﹣b2=5，b4﹣b3=7，b5﹣b4=9， … bn﹣bn﹣1=2（n﹣1）+1=2n﹣1， 等式两边同时相加得bn﹣b1=3+6+…+（2n﹣1）==（n+1）（n﹣1）=n2﹣1， 即bn=b1+n2﹣1=n2+2， 假设an=902所处的行数为k行， 则由n2+2≤902，得n2≤900， 解得n≤30， ∴an=902位于第30行，而且为第30行的第1个数， 数列{an}的前29行共有1+2+3…+29=个， 则an=902位于435+1=436个， 即n=436． 故答案为：436． 14. 已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P的坐标是，若，则点P的坐标是   ▲    ． 参考答案： 略 15. 已知，则__________． 参考答案： 令，则，． 16. 如图所示：直角梯形中，， 为中点，沿把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点重合，则这个三棱锥的体积等于__________。 参考答案： 17. 已知圆C过点（1，0），且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为              。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题8分）如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)． (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)在所给直观图中连接BC′，求证：BC′∥面EFG. 参考答案： (1)如图所示． (3)证明：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， 连接AD′，则AD′∥BC′. 因为E，G分别为AA′，A′D′的中点， 所以AD′∥EG，从而EG∥BC′. 又BC′?平面EFG，所以BC′∥面EFG. 19. （本小题满分14分）已知命题表示双曲线，命题表示椭圆． ⑴若命题为真命题，求实数的取值范围． ⑵判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）． 参考答案： ⑴命题表示双曲线为真命题，则，  ……3分 ∴；                                             ……5分 ⑵命题表示椭圆为真命题，，      ……8分 ∴或，                                    ……10分 或 ∴是的必要不充分条件.                                   ……14分 20. 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点， 过E、F作   平面α∥AB. （1）求证：CD∥α; （2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.   参考答案： 解（1）证明：如图4，连接AD交α于G，连接GF, ∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF. 又∵F为BD中点, ∴G为AD中点. 又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD. …………………………………………………………6分 （2）解：由（1）证明可知： ∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=………………………………………10分 在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.………12分   略 21. 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4． （Ⅰ）求抛物线E的方程； （Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（Ⅰ） 法一：利用已知条件列出方程组，求解即可． 法二：利用抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可． （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求出线段AB中点的纵坐标为﹣1，得到直线的斜率，求出直线方程． 法二：设直线l的方程为x=my+1，联立直线与抛物线方程，设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），通过线段AB中点的纵坐标为﹣1，求出m即可． 【解答】解：（Ⅰ） 法一：抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为， 由已知… 解得P=2或P=﹣14 ∵P＞0，∴P=2∴E的方程为y2=4x．… 法二：抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程为， 由抛物线的定义可知 解得p=2∴E的方程为y2=4x．… （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0） 设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则… 两式相减．整理得 ∵线段AB中点的纵坐标为﹣1 ∴直线l的斜率… 直线l的方程为y﹣0=﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2=0… 法二：由（1）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0） 设直线l的方程为x=my+1 由消去x，得y2﹣4my﹣4=0 设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段AB中点的纵坐标为﹣1 ∴ 解得… 直线l的方程为即2x+y﹣2=0… 22. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°． （Ⅰ）求证：A1B⊥AC1； （Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直． （Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O， 由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC， 所以：A1O⊥平面ABC， 所以：A1O⊥BC， 又BC⊥AC， 所以：BC⊥平面A1AC， 又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影， 所以：A1B⊥AC1． （Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz， A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，）， 则：，， 设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量， 所以：， 求得：， 由E（1，0，0） 求得：， 直线EC1与平