2022年安徽省亳州市蒙城县第二中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,,则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
参考答案:
B
若、皆是实数,则一定不是虚数,因此当是虚数时,则“、中至少有一个数是虚数”成立,即必要性成立;当、中至少有一个数是虚数,不一定是虚数,如,即充分性不成立,选B.
考点:复数概念,充要关系
2. 已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在上,∠=,则到轴的距离为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值( )
A.2个 B.1个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
考点:利用导数研究函数的极值.
专题:导数的综合应用.
分析:如图所示,由导函数f′(x)在(a,b)内的图象和极值的定义可知:函数f(x)只有在点B处取得极小值.
解答: 解:如图所示,
由导函数f′(x)在(a,b)内的图象可知:
函数f(x)只有在点B处取得极小值,
∵在点B的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,且f′(xB)=0.
∴函数f(x)在点B处取得极小值.
故选:B.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力,属于基础题.
4. 已知P ,q,则“非P”是“非q”的 ( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
参考答案:
B
5. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】L8:由三视图还原实物图.
【分析】根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体,有两个矩形即为柱体,有两个梯形即为台体,将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案.
【解答】解:由已知中三视图的上部分有两个矩形,一个三角形
故该几何体上部分是一个三棱柱
下部分是三个矩形
故该几何体下部分是一个四棱柱
故选D
6. 设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则( )
A.9 B.6 C. 4 D.3
参考答案:
B
7. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 如图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A、30° B、45° C、60° D、90°
参考答案:
D
9. 若等比数列{an}的各项均为正数,,,则( )
A. B. C. 12 D. 24
参考答案:
D
【分析】
由,利用等比中项的性质,求出,利用等比数列的通项公式即可求出.
【详解】解:数列是等比数列,各项均为正数,,
所以,
所以.
所以,
故选:D.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,等比中项的性质,正确运算是解题的关键,属于基础题.
10. “”是 “” 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是 .
参考答案:
考点: 圆的一般方程.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 由配方法化为标准式,求出圆的半径,再求周长即可.
解答: 解:x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2
所以圆的半径为,故周长为2π.
故答案为:2π.
点评: 本题考查圆的一般方程和标准方程,属基础知识的考查.
12. 若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为 ____________________
参考答案:
或
13. P是抛物线上任一点,F是其焦点,A(1,-5),则的最小值是_______.
参考答案:
略
14. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积为---------------------------___________________.
参考答案:
15. 函数y=x2﹣1与x轴围成的面积是
参考答案:
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】联立y=x2﹣1与y=0求出函数与x轴的交点,在区间(﹣1,1)利用定积分求出围成的面积即可.
【解答】解:令y=0得到x=1或x=﹣1
则函数与x轴围成的面积=∫﹣11(0﹣x2+1)dx=(+x)|﹣11=
故答案为
16. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为
参考答案:
17. 椭圆的左焦点是,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是 .
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)甲乙两个班级均为40人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行统计,甲班及格人数为36人,乙班及格人数为24人.
(1)根据以上数据建立一个的列联表;(2)试判断成绩与班级是否有关?
参考公式:;
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
参考答案:
解:(1)2×2列联表如下:
不及格
及格
总计
甲班
4
36
40
乙班
19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,,,且AC,BD交于点O,E是PB上任意一点.
(1)求证:;
(2)若E为PB的中点,且二面角A-PB-D的余弦值为,求EC与平面PAB所成角的正弦值.
参考答案:
(1)因为DP⊥平面ABCD,所以DP⊥AC,
因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,因为DE?平面PBD,∴AC⊥DE. (4分)
(2)连接OE,在△PBD中,EO∥PD,
所以EO⊥平面ABCD,分别以OA,OB,OE所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系, (5分)
设PD=t,则A(1,0,0),B(0,,0),C(﹣1,0,0),
E(0,0,),P(0,﹣,t).
设平面PAB的一个法向量为(x,y,z),
则 ,令,
得,
平面PBD的法向量(1,0,0),
因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为,所以 ,
所以或(舍), (9分)
则
∴,
∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.
(12分)
20. (14分)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+,(其中)且与点A相距海里的位置C。
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时)
(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由。
参考答案:
解:(1)如图,,
,,且
所以…………………………………4分
由余弦定理:,得…………6分
A
所以船的行驶速度为(海里/小时)…7分
(2)如图建系A-x,设,),,)
由已知=,
∴B(40,40)…………………………………8分
且
∴C(30,20) ………………………………………10分
且
直线BC的方程为,且E(0,55)…………………12分
故点E到直线BC的距离
所以船会进入警戒水域。……………………………………14分
略
21. (本小题满分12分)在一次考试中,要从10道题中随机的抽出5道题进行考试,做对其中3道题,就可获得及格,某考生会做10道题中的6道题。求该考生获得及格的概率。
参考答案:
解:设“该考生获得及格的”的事件为A, …………………………2分
则 …………………………10分
答:该考生获得及格的概率为。 ………………………12分
略
22. 设角A,B,C是△ABC的三个内角,已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且m⊥n.
(1)求角C的大小;
(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.
参考答案:
(1)由题意得m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得c2=a2+b2-ab,再由余弦定理得cosC==.
因为0
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