湖北省荆州市江陵县第二高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市江陵县第二高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式xf'（x）＜4f（x）恒成立，其中f'（x）为f（x）的导数，则（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】令g（x）=，（x＞0），求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（1）＞g（2），从而求出答案． 【解答】解：令g（x）=，（x＞0）， 则g′（x）=， ∵不等式xf'（x）＜4f（x）恒成立， ∴xf'（x）﹣4f（x）＜0，即g′（x）＜0， g（x）在（0，+∞）递减， 故g（1）＞g（2）， 故＜16， 故选：A． 2. 下列有关命题的说法正确的是                 （     ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件． C．命题“使得”的否定是：“ 均有”． D．命题“若，则”的逆否命题为真命题． 参考答案： D 略 3. 若圆与圆相交，则的取值范围是     (   ) A.       B.   C.         D. 或 参考答案： D 4. 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件． 【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出． 【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0） 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0． ． ①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=， ∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． ∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0， ∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即． 故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0， ∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减． ∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣． 故选：D． 5. 下列命题中正确命题的个数是（  ） ①“若，则”的逆否命题为“若，则”； ②“”是“”的必要不充分条件； ③若“”为假命题，则p，q均为假命题； ④若命题：，，则：，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： C 【分析】 由四种命题之间的转化、复合命题的真假判断和充要条件的推导求解. 【详解】①正确； 由解得且，“”是“”的必要不充分条件，故②正确； ③若“”为假命题，则，至少有一个为假命题，故③错误； ④正确．故选C． 【点睛】本题考查四种命题、复合命题和充要条件，属于基础题. 6. 函数f（x）=（2πx）2的导数是（　　） A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx 参考答案： C 【考点】导数的运算． 【分析】利用复合函数的求导法则：外函数的导数乘以内函数的导数，求出f′（x）． 【解答】解：f′（x）=2（2πx）（2πx）′=8π2x 故选C 7. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： A 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数． 【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2， ∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根， ∴△=4a2﹣12b＞0．解得=． ∵x1＜x2， ∴，． 而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0， ∴此方程有两解且f（x）=x1或x2． 不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0． ①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象， ∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解． ②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解． 综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根． 故选：A． 8. 过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网 A.             B.2             C.         D. 2  参考答案： 解析：,圆心到直线的距离 ，由垂径定理知所求弦长为   故选D. 9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 10. 曲线在点处的切线的倾斜角为（  ） （A）         （B）           （C）            （D） 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =          。 参考答案：  解析：． 12. 的展开式的常数项是__________. 参考答案： -20 13. 命题“”的否定是：_______________ 参考答案： 略 14. 函数f（x）=x?ex，则f′（1）=　　． 参考答案： 2e 【考点】导数的运算． 【分析】根据（uv）′=u′v+uv′和（ex）′=ex，求出函数的导函数，把x等于1代入到导函数中即可求出f′（1）的值． 【解答】解：f′（x）=（x?ex）′=ex+xex， ∴f′（1）=e+e=2e． 故答案为：2e． 15. 在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=　   　． 参考答案： 7 【考点】余弦定理． 【分析】由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，代入可求． 【解答】解：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC， ==49， ∴c=7． 故答案为：7． 16. ．给定下列命题:                                                   ①“”是“”的充分不必要条件;  ②; ③  ④命题 的否定. 高考 资￥源@网 其中真命题的序号是                           参考答案： 16 略 17. 若，则a与b的关系为__________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分）武汉市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其 中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都 从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． 参考答案： （1）的所有可能取值为0，1，2．              1分 设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以 ，                                      3分 ，                                      5分 ．                                     7分 所以的分布列为（注：不列表，不扣分） 0 1 2 的数学期望为．             8分 （2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件． 而事件、、互斥， 所以，． 由条件概率公式，得 ，       9分        10分 ．            11分 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 ．                   13分 19. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据如下表（单位：人） （1）求x、y； （2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人来自高校C的概率。 参考答案： 解：由题意可得，所以                                            （2）记从高校B抽取的2人为、，从高校C抽取的3人为、、，则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共10种。设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有（，）（，）（，）共3种。 因此 故选中的2人都来自高校C的概率为 略 20. 如图，在四面体A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点. （1）证明：平面ABC平面ADC； （2）若DBDC= 60°，求二面角C?BM?D的大小． 参考答案： 略 21. （本小题满分12分） 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和. （1）试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）与产量之间的函数关系式； （2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 参考答案： （1） ……………………………………………………………2分 即……………………………4分（注：不写定义域“”扣1分）     （2） ……………………………………………………5分 令，得 或……………………………………………………………………………………6分 当变化时，的变化情况如下表：                   极小值 极大值 由上表可知：是函数的唯一极大值点，也是最大值点.所以，当时，取得取最大值.…………………………………………………………………………………………………………11分 答：当产量为15时，该企业可获得最大利润，最