2022-2023学年湖南省长沙市沩乌中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市沩乌中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0}，N={x||x﹣3|＜1}，则M∩N=（　　） A．（2，4） B．（2，4] C．[2，4] D．（﹣1，4] 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可． 【解答】解：集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0}={x|﹣1≤x≤4}， N={x||x﹣3|＜1}={x|﹣1＜x﹣3＜1}={x|2＜x＜4}， 则M∩N={x|2＜x＜4}=（2，4）． 故选：A． 2. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点， 为的最小值，则的最大值为 A．             B．            C．          D． 参考答案： C 3. 如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D’ 中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值为(　　) A. B. C.  D. 参考答案： B 略 4. 在中，已知，则该的形状为（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形 参考答案： D 5. 若集合，，则集合等于（  ） A．    B． C． D． 参考答案： D 6. 已知，则等于（    ） A．1+2e        B．1－2e          C．ln2         D．2e 参考答案： B 由题意得，选B.   7. 如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是，则直线AB和平面a的位置关系是（　） Ａ、平行         B、相交 C、平行或相交     D、ABìa 参考答案： C 略 8. 已知0＜θ＜，则双曲线C1：与C2：的（　　） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论． 【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2； 双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2； 所以两条双曲线的焦距相等． 故选D． 9. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 试题分析：考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题． 10. 取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪的两段的长都不小于m的概率是（    ） A、               B、            C、 D、不能确定 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列等式：     ，     ，     ，     ， …… 猜想：       （）. 参考答案： 略 12. 已知直线（为参数），（为参数）, 若，则实数          ． 参考答案： -1. 13. 若依此类推，第个等式为　　　　　　 参考答案： 14. 已知为偶函数，且，则______   参考答案： 16 略 15. 若复数满足（其中为虚数单位），则的最小值为     参考答案： 1 16. 已知复数z=x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|=，则的范围为        ． 参考答案： 考点：复数求模． 专题：计算题． 分析：利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出． 解答： 解：∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|，， ∴． ∴（x﹣2）2+y2=3． 设，则y=kx． 联立，化为（1+k2）x2﹣4x+1=0． ∵直线y=kx与圆有公共点， ∴△=16﹣4（1+k2）≥0，解得． ∴则的范围为． 故答案为． 点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键． 17. 若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是　    　． 参考答案： 4 【考点】7F：基本不等式． 【分析】先根据ln（a+b）=0求得a+b的值，进而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案． 【解答】解：∵ln（a+b）=0， ∴a+b=1 ∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4 故答案为：4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计，若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，抽取一个容量为200的样本，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知“经常使用单车用户”有120人，其中是“年轻人”，已知“不常使用单车用户”中有是“年轻人”. (1)请你根据已知的数据，填写下列2×2列联表：   年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户       不常使用单车用户       合计       (2)请根据(1)中的列联表，计算值并判断能否有95%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？ (附： 当时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握说事件与有关；当时，认为事件与是无关的) 参考答案： (1)补全的列联表如下：   年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 100 20 120 不常使用单车用户 60 20 80 合计 160 40 200 (2)于是. ∴， 没有的把握认为经常使用共享单车与年龄有关. 19. 设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1． （1）m=时，写出不等式：f（）＜0的解集； （2）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围． 参考答案： 考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）当m=时，f（x）=x2﹣x﹣1，令f（x）＜0，解得：x∈（﹣1，2），若f（）＜0，则∈（﹣1，2），进而可得不等式：f（）＜0的解集； （2）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，分m=0和m≠0两种情况讨论满足条件的m的取值，最后综合讨论结果，可得答案． 解答： 解：（1）当m=时，f（x）=x2﹣x﹣1， 令f（x）＜0，即x2﹣x﹣1＜0， 解得：x∈（﹣1，2）， 若f（）＜0，则∈（﹣1，2）， 解得：x∈ 点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次不等式，恒成立问题，是函数与不等式的综合应用，难度中档． 20. 求值： （1）[(－1+i)·i100+()5]2017－()20 （2）[3tanx+sinx－2x3+]dx． 参考答案： 【分析】（1）利用复数的运算法则、周期性化简即可得出． （2）y=3tanx+sinx﹣2x3是奇函数，可得=dx，即可得出． 【解答】解：（1）∵i4=1，∴i100=（i4）25=1， ∵==﹣i，∴（﹣i）5=﹣i，（﹣1）2017=﹣1． ==﹣1，∴ =﹣1． =﹣1+1=0． （2）∵y=3tanx+sinx﹣2x3是奇函数， ∴=dx ==+2． 21. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)在上单调递减区间 参考答案： （1）（2）周期为π， 【分析】 （1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值； （2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论． 【详解】解：（1） 因为，且, 所以， 所以 （2） ， ， 所以的最小正周期为 当时，， 再由得，， 函数在上的递减区间为   22. 已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且，. （1）求证：平面PAB⊥平面ABCD； （2）求点D到平面APC的距离. 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点，连接，证明，，进而得到平面平面 （2）利用等体积法：计算得到答案. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 由，知为等腰直角三角形，所以， ，又知为等边三角形，所以. 又由得，所以， ，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）设点到平面距离为，由（1）知是边长为2的等边三角形， 为等腰三角形，由，得， 因为， 所以，即点到平面的距离为. 【点睛】本题考查了面面垂直，等体积法求点到平面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.