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2022-2023学年湖南省长沙市沩乌中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0},N={x||x﹣3|<1},则M∩N=( )
A.(2,4) B.(2,4] C.[2,4] D.(﹣1,4]
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【分析】化简集合M、N,根据交集的定义写出M∩N即可.
【解答】解:集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0}={x|﹣1≤x≤4},
N={x||x﹣3|<1}={x|﹣1<x﹣3<1}={x|2<x<4},
则M∩N={x|2<x<4}=(2,4).
故选:A.
2. 设,点为所表示的平面区域内任意一点,,为坐标原点, 为的最小值,则的最大值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D’ 中,M是AB的中点,则sin〈,〉的值为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. 在中,已知,则该的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形
参考答案:
D
5. 若集合,,则集合等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 已知,则等于( )
A.1+2e B.1-2e C.ln2 D.2e
参考答案:
B
由题意得,选B.
7. 如果平面a外有两点A、B,它们到平面a的距离都是,则直线AB和平面a的位置关系是( )
A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、ABìa
参考答案:
C
略
8. 已知0<θ<,则双曲线C1:与C2:的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
参考答案:
D
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长,虚半轴的长,焦距即可得到结论.
【解答】解:双曲线C1:可知a=sinθ,b=cosθ,2c=2(sin2θ+cos2θ)=2;
双曲线C2:可知,a=cosθ,b=sinθ,2c=2(sin2θ+cos2θ)=2;
所以两条双曲线的焦距相等.
故选D.
9. 已知命题:,;命题:,,则下列命题中为真命题的是:( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:考察函数图象可知: 命题为假命题,命题为真命题,所以为真命题.
10. 取一根长度为3cm的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪的两段的长都不小于m的概率是( )
A、 B、 C、 D、不能确定
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 观察下列等式:
,
,
,
,
……
猜想: ().
参考答案:
略
12. 已知直线(为参数),(为参数), 若,则实数 .
参考答案:
-1.
13. 若依此类推,第个等式为
参考答案:
14. 已知为偶函数,且,则______
参考答案:
16
略
15. 若复数满足(其中为虚数单位),则的最小值为
参考答案:
1
16. 已知复数z=x+yi(x,y∈R,x≠0)且|z﹣2|=,则的范围为 .
参考答案:
考点:复数求模.
专题:计算题.
分析:利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出.
解答: 解:∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|,,
∴.
∴(x﹣2)2+y2=3.
设,则y=kx.
联立,化为(1+k2)x2﹣4x+1=0.
∵直线y=kx与圆有公共点,
∴△=16﹣4(1+k2)≥0,解得.
∴则的范围为.
故答案为.
点评:熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键.
17. 若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则的最小值是 .
参考答案:
4
【考点】7F:基本不等式.
【分析】先根据ln(a+b)=0求得a+b的值,进而利用=()(a+b)利用均值不等式求得答案.
【解答】解:∵ln(a+b)=0,
∴a+b=1
∴=()(a+b)=2++≥2+2=4
故答案为:4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区,绿色出行引领时尚,旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计,若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,抽取一个容量为200的样本,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”,已知“经常使用单车用户”有120人,其中是“年轻人”,已知“不常使用单车用户”中有是“年轻人”.
(1)请你根据已知的数据,填写下列2×2列联表:
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
不常使用单车用户
合计
(2)请根据(1)中的列联表,计算值并判断能否有95%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?
(附:
当时,有的把握说事件与有关;当时,有的把握说事件与有关;当时,认为事件与是无关的)
参考答案:
(1)补全的列联表如下:
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
100
20
120
不常使用单车用户
60
20
80
合计
160
40
200
(2)于是.
∴,
没有的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
19. 设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1.
(1)m=时,写出不等式:f()<0的解集;
(2)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
考点: 二次函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)当m=时,f(x)=x2﹣x﹣1,令f(x)<0,解得:x∈(﹣1,2),若f()<0,则∈(﹣1,2),进而可得不等式:f()<0的解集;
(2)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,分m=0和m≠0两种情况讨论满足条件的m的取值,最后综合讨论结果,可得答案.
解答: 解:(1)当m=时,f(x)=x2﹣x﹣1,
令f(x)<0,即x2﹣x﹣1<0,
解得:x∈(﹣1,2),
若f()<0,则∈(﹣1,2),
解得:x∈
点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,二次不等式,恒成立问题,是函数与不等式的综合应用,难度中档.
20. 求值:
(1)[(-1+i)·i100+()5]2017-()20
(2)[3tanx+sinx-2x3+]dx.
参考答案:
【分析】(1)利用复数的运算法则、周期性化简即可得出.
(2)y=3tanx+sinx﹣2x3是奇函数,可得=dx,即可得出.
【解答】解:(1)∵i4=1,∴i100=(i4)25=1,
∵==﹣i,∴(﹣i)5=﹣i,(﹣1)2017=﹣1.
==﹣1,∴ =﹣1.
=﹣1+1=0.
(2)∵y=3tanx+sinx﹣2x3是奇函数,
∴=dx
==+2.
21. 已知函数.
(1)若,且,求的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)在上单调递减区间
参考答案:
(1)(2)周期为π,
【分析】
(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得f(α)的值;
(2)利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论.
【详解】解:(1) 因为,且,
所以,
所以
(2)
,
,
所以的最小正周期为
当时,,
再由得,,
函数在上的递减区间为
22. 已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且,.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)求点D到平面APC的距离.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)取的中点,连接,证明,,进而得到平面平面
(2)利用等体积法:计算得到答案.
【详解】(1)证明:取的中点,连接,
由,知为等腰直角三角形,所以,
,又知为等边三角形,所以.
又由得,所以,
,所以平面,
又因为平面,所以平面平面.
(2)设点到平面距离为,由(1)知是边长为2的等边三角形,
为等腰三角形,由,得,
因为,
所以,即点到平面的距离为.
【点睛】本题考查了面面垂直,等体积法求点到平面距离,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
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