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2022-2023学年湖南省怀化市靖州第一中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是等比数列,,则公比等于
A.2 B. C. D.
参考答案:
A
结合题意由等比数列的通项公式可得,由此求得q的值.
解:由得:,解得。故选A。
考点:等比数列的通项公式.
点评:本题考查等比数列的基本量之间的关系,若已知等比数列的两项,则等比数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解.
2. 设函数f(x)=,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( )
A.x1+x2>0,y1+y2>0 B.x1+x2>0,y1+y2<0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 D.x1+x2<0,y1+y2<0
参考答案:
C
3. 已知函数f(x)=lnx+x,则曲线f(x)在点P(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C.1 D.2
参考答案:
A
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】根据求导公式求出函数的导数,把x=1代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化简,分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解.
【解答】解:由题意得y′=+1,则在点M(1,1)处的切线斜率k=2,
故切线方程为:y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1,
令x=0得,y=﹣1;令y=0得,x=,
∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==,
故选:A.
4. 函数的定义域是 ( )
A. B.(1,2) C.(2,+∞) D.(-∞,2)
参考答案:
B
略
5. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【考点】K4:椭圆的简单性质;KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标,可以设出椭圆的标准方程,分析可得a2﹣b2=5①,又由其离心率可得e===②,联立解可得a、b的值,将其代入椭圆的方程,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,双曲线的方程为:,其焦点在x轴上,
且c==,
则双曲线的焦点坐标为(±,0);
要求椭圆的焦点也在x轴上,设其方程为+=1,
有=,即a2﹣b2=5,①
又由其离心率e=,则有e===,②
解可得a=5,b=2,
则椭圆的方程为: +=1;
故选:C.
6. 函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
参考答案:
D
略
7. 在平面直角坐标系中,过点且斜率为的直线不经过( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
解:由画图可知,直线不过第三象限.
8. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=,若A={1,2},B={x||x2+ax+1|=1},且A*B=1,由a的所有可能值构成的集合是S,那么C(S)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
【考点】元素与集合关系的判断.
【专题】计算题;压轴题;新定义;分类讨论.
【分析】根据A={1,2},B={x||x2+ax+1|=1},且A*B=1,可知集合B要么是单元素集合,要么是三元素集合,然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论,即可求得a的所有可能值,进而可求C(S).
【解答】解:|x2+ax+1|=1?x2+ax+1=1 或x2+ax+1=﹣1,
即x2+ax=0 ①
或x2+ax+2=0 ②,
∵A={1,2},且A*B=1,
∴集合B要么是单元素集合,要么是三元素集合,
1°集合B是单元素集合,则方程①有两相等实根,②无实数根,
∴a=0;
2°集合B是三元素集合,则
方程①有两不相等实根,②有两个相等且异于①的实数根,
即,解得a=±2,
综上所述a=0或a=±2,
∴C(S)=3.
故选B.
【点评】此题是中档题.考查元素与集合关系的判断,以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用.
9. 己知命题p:存在;命题q:△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,则下列命题中为真命题的是( ).
(A)p且q (B)p或q
(C) p且q (D)p且q
参考答案:
C
10. (2016?安徽二模)从自然数1~5中任取3个不同的数,则这3个数的平均数大于3的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】先求出基本事件总数,再用列举法求出这3个数的平均数大于3包含的基本事件个数,由此能求出这3个数的平均数大于3的概率.
【解答】解:从自然数1~5中任取3个不同的数,
基本事件总数n=,
这3个数的平均数大于3包含的基本事件有:
(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),
共有m=4个,
∴这3个数的平均数大于3的概率p=.
故选:B.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把二进制数转化为十进制数为
参考答案:
3
12. 已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣6y+10=0,则过点(1,2)的最短弦的长度为 .
参考答案:
2
【分析】把圆方程化为标准方程,找出圆心M坐标与半径r,当MC⊥AB时,AB的长最短,利用勾股定理可求得最短弦的长度.
【解答】解:将圆方程化为标准方程为:(x﹣2)2+(y﹣3)2=3,即圆心C(2,3),半径r=,
当点M(1,2)为弦AB的中点,即MC⊥AB时,AB的长最短,CM=
∴AB=2
故答案为:2.
13. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为__________.
参考答案:
-=1
试题分析:圆C:x2+y2-6x+5=0,是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,可知双曲线中的c=2,双曲线的渐进性方程为:根据题意点(3,0)到渐近线的距离为2,运用点到直线的距离公式可得
故双曲线方程为-=1.
14. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为____.
参考答案:
15. 等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列的公比的值等于 .
参考答案:
4
16. 某人向正东方向走了xkm,然后向右转120°,再朝新方向走了3km,结果他离出发点恰好km,那么x的值是 .
参考答案:
4km
略
17. 观察下列式子 , … … ,
可猜想:当时,有________________________________
参考答案:
(n∈N*)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知公差不为零的等差数列{an},若a1=2,且a1,a3,a9成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{anbn}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公差为d≠0.由a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,可得,即(2+2d)2=2×(2+8d),解出d即可得出.
(II)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d≠0.
∵a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,
∴,即(2+2d)2=2×(2+8d),
∴4d2=8d,
∵d≠0,∴d=2.
∴an=2n.
(Ⅱ),
Sn=1?2+2?22+3?22+…+n?2n.①
从而2?Sn=1?22+2?23+3?23+…+n?2n+1.②
①﹣②,得(1﹣2)Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1,
即,
∴.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. (12分)在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式.
(2)设,求数列的前项和.
参考答案:
(1).(2).
20. 已知两点,动点P在y轴上的投影是Q,且.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G,H,M,N,且E1,E2分别是GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.
参考答案:
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)设点P坐标为(x,y)∴点Q坐标为(x,0),利用,即可得出.
(2)当两直线的斜率都存在且不为0时,设lGH:y=k(x﹣1),G(x1,y1),H(x2,y2),联立方程得,(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0,利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.
【解答】解:(1)设点P坐标为(x,y)∴点Q坐标为(x,0).
∵,
∴∴点P的轨迹方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)证明:当两直线的斜率都存在且不为0时,
设lGH:y=k(x﹣1),G(x1,y1),H(x2,y2)
,
联立方程得,,(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0,∴△>0恒成立;
∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴GH中点E1坐标为
同理,MN中点E2坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴
∴的方程为,∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当两直线的斜率分别为0和不存在时,的方程为y=0,也过点
综上所述,过定点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21. 双曲线(a>0,b>0),过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m,另一焦点为F2,求△ABF2的周长.
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|=2a,|BF2|﹣|AF1|=2a,结合|AF1|+|BF1|=|AB|=m,即可求得△ABF2的周长.
【解答】解:∵|AF2|﹣|AF1|=2a,|BF2|﹣|AF1|=2a,…
∴(|AF2|﹣|AF1|)+(|BF2|﹣|BF1|)=4a,…
又|AF1|+|BF1|=|AB|=m,
∴|AF2|+|BF2|=4a+(|AF1|+|BF1|)=4a+m.…
∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.…
22. (本小题满分13分)设锐角三角形的内角的对边分别为,.
(1)求的大小;
(2)若,,求.
参考答案:
(1)由,根据正弦定理得
,…………………3分
因为在三角形中
所以,…………………5分
由为锐角三角形得.…………………7分
(2)根据余弦定理,得
…………………8分
…………11分
所以:.…………………13分
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