2022-2023学年湖南省怀化市靖州第一中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省怀化市靖州第一中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是等比数列，，则公比等于 A．2   B．        C． D． 参考答案： A 结合题意由等比数列的通项公式可得，由此求得q的值． 解：由得：，解得。故选A。 考点：等比数列的通项公式． 点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解． 2. 设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A.x1＋x2>0，y1＋y2>0  B.x1＋x2>0，y1＋y2<0  C.x1＋x2<0，y1＋y2>0  D.x1＋x2<0，y1＋y2<0 参考答案： C 3. 已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 参考答案： A 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解． 【解答】解：由题意得y′=+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k=2， 故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1， 令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=， ∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==， 故选：A． 4. 函数的定义域是 （　　） A．      B．（1，2）    C．（2，+∞）    D．（－∞，2）   参考答案： B 略 5. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】K4：椭圆的简单性质；KC：双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标，可以设出椭圆的标准方程，分析可得a2﹣b2=5①，又由其离心率可得e===②，联立解可得a、b的值，将其代入椭圆的方程，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上， 且c==， 则双曲线的焦点坐标为（±，0）； 要求椭圆的焦点也在x轴上，设其方程为+=1， 有=，即a2﹣b2=5，① 又由其离心率e=，则有e===，② 解可得a=5，b=2， 则椭圆的方程为： +=1； 故选：C． 6. 函数的单调递增区间是 A.          B.(0,3)           C.(1,4)               D.   参考答案： D 略 7. 在平面直角坐标系中，过点且斜率为的直线不经过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 解：由画图可知，直线不过第三象限． 8. 用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： B 【考点】元素与集合关系的判断． 【专题】计算题；压轴题；新定义；分类讨论． 【分析】根据A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）． 【解答】解：|x2+ax+1|=1?x2+ax+1=1 或x2+ax+1=﹣1， 即x2+ax=0     ① 或x2+ax+2=0     ②， ∵A={1，2}，且A*B=1， ∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合， 1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根， ∴a=0； 2°集合B是三元素集合，则 方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根， 即，解得a=±2， 综上所述a=0或a=±2， ∴C（S）=3． 故选B． 【点评】此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用． 9. 己知命题p：存在；命题q：△ABC中，若sinA>sinB，则A>B，则下列命题中为真命题的是(  )． (A)p且q       (B)p或q     (C) p且q    (D)p且q 参考答案： C 10. （2016?安徽二模）从自然数1～5中任取3个不同的数，则这3个数的平均数大于3的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出这3个数的平均数大于3包含的基本事件个数，由此能求出这3个数的平均数大于3的概率． 【解答】解：从自然数1～5中任取3个不同的数， 基本事件总数n=， 这3个数的平均数大于3包含的基本事件有： （1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）， 共有m=4个， ∴这3个数的平均数大于3的概率p=． 故选：B． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把二进制数转化为十进制数为           参考答案： 3 12. 已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣6y+10=0，则过点（1，2）的最短弦的长度为　  　． 参考答案： 2 【分析】把圆方程化为标准方程，找出圆心M坐标与半径r，当MC⊥AB时，AB的长最短，利用勾股定理可求得最短弦的长度． 【解答】解：将圆方程化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2=3，即圆心C（2，3），半径r=， 当点M（1，2）为弦AB的中点，即MC⊥AB时，AB的长最短，CM= ∴AB=2 故答案为：2． 　 13. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为__________． 参考答案： －＝1 试题分析：圆C：x2＋y2－6x＋5＝0,是以（3,0）为圆心，2为半径的圆，可知双曲线中的c=2，双曲线的渐进性方程为：根据题意点（3,0）到渐近线的距离为2，运用点到直线的距离公式可得 故双曲线方程为－＝1. 14. 在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为____. 参考答案：     15. 等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于       . 参考答案： 4 16. 某人向正东方向走了xkm，然后向右转120°，再朝新方向走了3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值是               . 参考答案： 4km 略 17. 观察下列式子  ,  … … , 可猜想：当时,有________________________________ 参考答案： (n∈N*) 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知公差不为零的等差数列{an}，若a1=2，且a1，a3，a9成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{anbn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d≠0．由a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，可得，即（2+2d）2=2×（2+8d），解出d即可得出． （II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d≠0． ∵a1=2，且a1，a3，a9成等比数列， ∴，即（2+2d）2=2×（2+8d）， ∴4d2=8d， ∵d≠0，∴d=2． ∴an=2n． （Ⅱ）， Sn=1?2+2?22+3?22+…+n?2n．① 从而2?Sn=1?22+2?23+3?23+…+n?2n+1．② ①﹣②，得（1﹣2）Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1， 即， ∴． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. （12分）在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 参考答案： （1）.（2）. 20. 已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0），利用，即可得出． （2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出． 【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0）． ∵， ∴∴点P的轨迹方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）证明：当两直线的斜率都存在且不为0时， 设lGH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2） ， 联立方程得，，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∴△＞0恒成立； ∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴GH中点E1坐标为 同理，MN中点E2坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ ∴的方程为，∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当两直线的斜率分别为0和不存在时，的方程为y=0，也过点 综上所述，过定点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21. 双曲线（a＞0，b＞0），过焦点F1的弦AB（A、B在双曲线的同支上）长为m，另一焦点为F2，求△ABF2的周长． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|AF1|=2a，结合|AF1|+|BF1|=|AB|=m，即可求得△ABF2的周长． 【解答】解：∵|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|AF1|=2a，… ∴（|AF2|﹣|AF1|）+（|BF2|﹣|BF1|）=4a，… 又|AF1|+|BF1|=|AB|=m， ∴|AF2|+|BF2|=4a+（|AF1|+|BF1|）=4a+m．… ∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m．… 22. （本小题满分13分）设锐角三角形的内角的对边分别为，． （1）求的大小； （2）若，，求． 参考答案： （1）由，根据正弦定理得 ，…………………3分 因为在三角形中 所以，…………………5分 由为锐角三角形得．…………………7分 （2）根据余弦定理，得 …………………8分 …………11分 所以：．…………………13分