2022-2023学年河南省南阳市第五高级中学校高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市第五高级中学校高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为(　　)． a． a km    b． km    c． km    d．2 a km 参考答案： B 2. 图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分统计的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（　　） A．62 B．63 C．64 D．65 参考答案： C 【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数． 【分析】由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，由此能求出甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和． 【解答】解：由茎叶图知： 甲这几场比赛得分的中位数为：28， 乙这几场比赛得分的中位数为：36， ∴甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是： 28+36=64． 故选：C． 3. 平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　） A． B．C． D． 参考答案： A 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°． 则m、n所成角的正弦值为：． 故选：A．    　 4. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（    ） A．大前提错误         B．小前提错误       C．推理形式错误        D．结论正确 参考答案： A 导数为0的点不一定是极值点，而极值点的导数一定为0．所以本题是大前提错误。   5. 当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 参考答案： A 【考点】基本不等式． 【分析】巧用1，将已知等式与x+y相乘，得到基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值． 【解答】解：由已知x＞0，y＞0， +=1， 所以x+y=（+）（x+y）=5+≥5+2=9； 当且仅当即x=3，y=6时等号成立； 故选A． 6. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A．232            B．252              C．472             D．484     参考答案： C 略 7. 已知椭圆M：（x﹣2）2+y2=4，则过点（1，1）的直线中被圆M截得的最短弦长为2 ．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，过AC1的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为（   ）        A、π B、4π C、5π D、6π 参考答案： D                    【考点】椭圆的简单性质【解答】解：由题意，正方体的体对角线长为 ，  则球心O到过AC1的一个三等分点的球O的截面的距离为 = ， 球的半径为 ， ∴最小截面的圆的半径为 ， ∴最小截面的面积为π?（ ）2=6π． 故选：D． 【分析】由题意，求出正方体的体对角线长，得到球心O到过AC1的一个三等分点的球O的截面的距离，再求出球的半径，可得最小截面的圆的半径，即可求出最小截面的面积．    8. 展开式中，含项的系数为（    ） A. 45 B. 30 C. 75 D. 60 参考答案： C 【分析】 考虑展开式中及系数可得所求的系数. 【详解】在中，，因此展开式项的系数是.故选C. 【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求． 9. 函数的定义域（    ） A. (0,+∞) B. (－1,+∞) C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞) 参考答案： A 【分析】 解不等式即得函数的定义域. 【详解】由题得 所以函数的定义域为. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的部分图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中的（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【分析】根据f′（x）的零点及f′（x）＞0的解判断f（x）的极值点和在（﹣1，3）上的单调性． 【解答】解：由y=f′（x）的图象可知f′（﹣1）=f′（3）=0， 当x＜﹣1或x＞3时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＞0． ∴f（x）在x=﹣1时取得极小值，在x=3时取得极大值，在（﹣1，3）上为增函数． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =__________________. 参考答案：        12. 若在区间上是增函数，则的范围是___________．（用区间来表示） 参考答案： 略 13. 在中，角的对边分别为，若，的面积为2，则                 . 参考答案：           14. 已知点在直线上，则的最小值为    参考答案： 3 15. 已知在时有极值，则__________． 参考答案： 由题知， 且， 所以， 得或， ①当时，，此时， ， 所以函数单调递增无极值， 舍去． ②当时，，此时， 是函数的极值点，符合题意， ∴． 16. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是          ． 参考答案：   17. 已知函数，若存在满足是的最大值，是的最小值，则所有满足条件的整数对是_______ . 参考答案： 【分析】 当时，易得一次函数没有最大值，不符合题意．因此f为二次函数，可得，函数取最大值时对应的，结合题意得到是一个整数化简得，即可得出满足条件的整数只有，从而得到或3，得到满足条件的所有整数对． 【详解】若，，可得无最大值，故， 为二次函数， 要使有最大值，必须满足，即且， 此时，时，有最大值． 又取最小值时，， 依题意，，可得， 且， ，结合为整数得，此时或． 综上所述，满足条件的实数对是：，． 故答案为： 【点睛】本题给出含有根号和字母参数的二次函数，讨论函数的单调性与值域．着重考查了二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f(x)＝lnx－，其中a∈R．(1) 当a＝2时，求函数的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 如果对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围． 参考答案： ( 1) 3x－y－5＝0；(2)a≤－1． (1)当时，由已知得f(x)＝lnx－，故f′(x)＝，     …………2分 所以f′(1)＝1＋2＝3，又因为f(1)＝ln1－2＝－2， 所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝3(x－1)， 即；…………4分 (2)由，得，又， 故．…………6分 设函数， 则．…………7分 因为， 所以，， 所以当时，，…………9分 故函数在上单调递增． 所以当时，． 因为对于任意，都有成立， 所以对于任意，都有成立． 所以a≤－1．…………12分 考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值． 19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[120，130）内的频率； （2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率． 参考答案： 【考点】频率分布直方图；分层抽样方法． 【分析】（1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率； （2）由频率分布直方图计算出平均分； （3）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本， 求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可． 【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为 1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3； （2）估计平均分为 =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121； （3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）， [120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）； ∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n； 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d； 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A， 则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种； 则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种； ∴P（A）==． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题． 20. 已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点斜率为1 的直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求弦的长． 参考答案： （1）；（2）． 试题分析：（1）由椭圆的焦距为，短半轴的长为，求得的值，进而得到的值，即可得到椭圆的方程；（2）设，把直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解弦的长． 考点：椭圆的方程；弦长公式． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及弦长的问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的弦长公式的应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题． 21. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号