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内蒙古自治区赤峰市市第十中学高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆,圆,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线上的动点,则的最小值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
求出圆的圆心坐标和半径,作出圆关于直线的对称圆,连结,则与直线的交点即为点,此时点为与圆的交点关于直线对称的点,为与圆的交点,的最小值为.
【详解】
由圆,圆,
可知圆圆心为,半经为1,如图,
圆圆心为,半经为2,
圆关于直线的对称圆为圆,
连结,交于,则为满足使最小的点,
此时点为与圆的交点关于直线对称的点,为与圆的交点,
最小值为,
而,
的最小值为,故选A.
【点睛】本题考查了圆方程的综合应用,考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将解析几何中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
2. 已知函数f(x)=|x|,则下列结论正确的是( )
A.奇函数,在(﹣∞,0)上是减函数 B.奇函数,在(﹣∞,0)上是增函数
C.偶函数,在(﹣∞,0)上是减函数 D.偶函数,在(﹣∞,0)上是增函数
参考答案:
C
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】去绝对值,根据奇偶性的定义判断即可得答案.
【解答】解:函数f(x)=|x|,
则:f(﹣x)=|﹣x|=|x|=f(x)
∴函数f(x)是偶函数;
由f(x)=|x|,可得f(x)=,根据一次函数的图象可知,f(x)在(﹣∞,0)上是减函数
∴函数f(x)=|x|是偶函数,在(﹣∞,0)上是减函数
故选C.
3. 平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若.则=( )
A. B. 2 C. D.
参考答案:
A
【分析】
先求出,再根据得到解方程组即得解.
【详解】由题意得,
又因为,
所以,
由题意得,所以解得
所以,
故选:A.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
4. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A. B.y=ex+x C. D.
参考答案:
B
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】对应思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】利用是奇函数或是偶函数的定义进行判断即可得出结论.
【解答】解:对于A,y=x﹣(x≠0),是定义域上的奇函数,不满足题意;
对于B,y=ex+x(x∈R),既不是奇函数,也不是偶函数,满足题意;
对于C,y=2x+(x∈R),是定义域上的偶函数,不满足题意;
对于D,y=(x≤﹣1或x≥1),是定义域上的偶函数,不满足题意.
故选:B.
【点评】本题考查了函数的奇偶性应用问题,属于基础题.
5. 圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x+3)2+(y+4)2=16的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
参考答案:
B
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断.
【解答】解:圆C1:x2+y2=9的圆心C1(0,0),半径r=3,
圆C2:(x+3)2+(y+4)2=16,圆心C2:(﹣3,﹣4),半径R=4,
两圆心之间的距离=5满足4﹣3<5<4+3,
∴两圆相交.
故选:B.
6. 12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,必然事件是( )
A.3个都是正品 B.至少有一个是次品
C.3个都是次品 D.至少有一个是正品
参考答案:
D
A,B都是随机事件,因为只有2个次品,所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件,“至少有一个是正品”是必然事件.
7. 函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
8. 已知点P与点关于直线对称,则点P的坐标为
A. (3,0) B. (-3,2) C. (-3,0) D. (-1,2)
参考答案:
A
【分析】
根据题意,设P的坐标为(a,b),分析可得,解可得a、b的值,即可得答案.
【详解】设P的坐标为(a,b),则PQ的中点坐标为(,),
若点P与Q(1,﹣2)关于x+y﹣1=0对称,则有,
解可得:a=3,b=0,
则点P的坐标为(3,0);
故选:A.
【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,涉及直线与直线的位置关系,属于基础题.
9. 已知数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,若,则的最大值是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
参考答案:
B
【分析】
将{an}的通项公式分解因式,判断正负分界处,进而推断的最大最小值得到答案.
【详解】数列{an}的通项公式
当时,当或是
最大值为或
最小值为或
的最大值为
故答案为B
【点睛】本题考查了前n项和为的最值问题,将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键.
10. 设,则, , 的大小顺序为( )
. . . .
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,令,则关于函数有下列命题:
①的图象关于原点对称;
②为偶函数;
③的最小值为0;
④在上为减函数.
其中正确命题的序号为 .
参考答案:
②③
12. 下面有四个说法:;
;;
其中正确的是_____________。
参考答案:
(3)(4)
略
13. __________。
参考答案:
3
略
14. 是第 象限角.
参考答案:
三
15. 设向量表示“向东走6”,表示“向北走6”,则=______;
参考答案:
16. 直线与坐标轴围成的三角形的面积是 .
参考答案:
5
17. 函数y =的值域是 。
参考答案:
[ 0,1 ]
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知直线,的交点为.
(1)求点的坐标;
(2)求过点且与直线垂直的直线l的方程.
参考答案:
(1)由 得, …………………………………………5分
点的坐标为;
(2)直线l2的斜率为, ………………………………………………………7分
而l2⊥l, 则直线l的斜率为1,………………………………………………9分
由点斜式可得l的方程为,即 ………………12分
19. (10分)(2015秋?台州校级月考)判断函数f(x)=(a≠0)在区间(﹣1,1)上的单调性.
参考答案:
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】导数的综合应用.
【分析】先求f′(x),讨论a即可判断f′(x)的符号,从而判断出函数f(x)在(﹣1,1)的单调性.
【解答】解:f′(x)=;
∴当a<0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增;
当a>0时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣1,1)上单调递减.
【点评】考查根据导数符号判断函数单调性的方法,而正确求f′(x)是求解本题的关键.
20. 关于二次函数
(1)若任意恒成立,求实数的取值范围
(2)若方程在区间上有解,求实数的取值范围.
参考答案:
略
21. (本小题满分8分)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线左侧的图形的面积为。试求函数的解析式,并画出函数的图象.
参考答案:
22. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)在单位圆O上,∠xOA=α,且α∈(,).
(1)若cos(α+)=﹣,求x1的值;
(2)若B(x2,y2)也是单位圆O上的点,且∠AOB=.过点A、B分别做x轴的垂线,垂足为C、D,记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义.
【专题】三角函数的求值.
【分析】(1)由三角函数的定义有x1=cosα,求得,根据,利用两角差的余弦公式计算求得结果.
(2)求得得,S2=.可得,化简为sin(2α﹣).再根据 2α﹣的范围,利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(α)取得最大值
【解答】解:(1)由三角函数的定义有x1=cosα,
∵cos(α+)=﹣,α∈(,),∴,
∴==.
(2)由y1=sinα,得.
由定义得,,
又 由α∈(,),得α+∈(,),
于是, =.
∴=
===sin(2α﹣).
再根据 2α﹣∈(,),可得当2α﹣=,即α=时,函数f(α)取得最大值.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和差的正弦公式、余弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于基础题.
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